Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 13

Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 13

Giới hạnThứ hai, ngày 02 tháng hai năm 2009

Vẫn còn lại một điểm từ phần 11, khi tôi bắt đầu sự so sánh giữa "toán học thực sự" và cờ vua. Giờ đây chúng ta đã có thể chấp nhận rằng về mặt nội dung, sự quan trọng và thiết yếu thì các định lý toán học thực sự có lợi thế hơn hẳn. Cũng hoàn toàn hiển nhiên với bất cứ một người có hiểu biết nào, toán học hơn hẳn nhờ vẻ đẹp của mình; nhưng lợi thế này cũng khó định nghĩa và phân loại hơn rất nhiều, vì điểm thiếu xót chủ yếu của một ván cờ đơn giản chỉ là "sự tầm thường" của nó, và sự tương phản trong điều này làm trộn lẫn và ảnh hưởng bất kỳ đánh giá thẩm mỹ thuần túy nào. Dựa vào quan điểm "thẩm mỹ thuần túy" nào liệu ta có thể phân biệt giữa định lý của Euclid và định lý của Pythagoras? Tôi sẽ không mạo hiểm hơn chỉ với một vài nhận xét rời rạc nữa.

Trong các định lý (và khi nói tới các định lý, tất nhiên tôi đã gộp cả những lời giải của chúng), luôn có một tính bất ngờ lớn, kết hợp với một sự chắc chắn xảy ra và ngắn gọn. Các lập luận, một cách khó hiểu và ngạc nhiên, tạo thành một thể thống nhất; những vũ khí sử dụng dường như vô cùng đơn giản khi so sánh với những kết quả có ảnh hưởng sâu rộng nhưng lại không có một lối thoát nào có thể ra khỏi kết luận của bài toán. Nội dung cũng không phải là khó - một dòng để tấn công đã là đủ trong mỗi trường hợp; và điều này cũng đúng trong nhiều lời giải của rất nhiều những định lý khó hơn nhiều, mà sự đánh giá đầy đủ của chúng đòi hỏi việc thành thạo trong các kỹ thuật rất lớn. Chúng ta không muốn nhiều "dạng khác nhau" trong lời giải của một định lý toán học: "Một sự liệt kê các trường hợp" thực sự là một kiểu nhàm chán của một lập luận toán học. Một lời giải toán học cần phải giống một chùm sao đơn giản và rõ ràng, không phải là một chùm các mảnh vỡ trong dải ngân hà.

Một ván cờ cũng có tính chất bất ngờ và một sự kinh tế nhất định; việc các nước dy chuyển phải bất ngờ và mọi quân cờ trên bàn đều có vai trò của nó là một việc rất quan trọng. Nhưng hiệu ứng thẩm mỹ thì được dồn lại. Cũng như vậy, mỗi nước đi phải kéo theo một loạt các biến thể đẹp, mỗi biến thể phải có câu trả lời của riêng nó (trừ phi ván cờ quá đơn giản để mang tính bất ngờ). "Nếu P-B5, sau đó Kt-R6; nếu ... thì ...; nếu ... thì ..." - hiệu quả của nó sẽ mất đi nếu không có những nhiều những câu trả lời khác nhau. Tất cả những điều này là toán học, và có giá trị của nó; nhưng nó chỉ là "một lời giải bằng cách liệt kê các trường hợp" (và của những trường hợp không khác một cách sâu sắc lắm (*)), điều mà một nhà toán học thực thụ thường không thích.

Tôi vẫn bám vào suy nghĩ rằng tôi có thể làm mạnh hơn lập luận của tôi bằng cách trình bày cảm nghĩ của mình với những người chơi cờ hẳn hoi. Chắc chắn là một kiện tướng cờ, người đã từng chơi những ván cờ và những trận đấu lớn, sẽ khinh miệt một môn nghệ thuật thuần tuý toán học. Anh ta có quan điểm của riêng mình, và có thể trả lời ngay khi được hỏi: "Nếu anh ta đã đi nước này hay nước này, thì tôi đã có thể thắng bằng cách này hay cách này trong đầu". Nhưng một "ván cờ lớn" hoàn toàn là vấn đề tâm lý, một cuộc tranh chấp giữa một người trong nghề với một người khác, và không chỉ là kết hợp của nhiều định lý toán học nhỏ.

(*) Tôi tin rằng bây giờ một ván cờ được coi là giá trị nếu nó chứa đựng nhiều biến thể cùng một dạng.

Tôi phải quay lại bài giảng ở Oxford, và khảo sát kỹ lưỡng hơn những vấn đề mà tôi đã hoãn lại từ chương 6. Cho tới giờ, rõ ràng là tôi yêu thích toán học như một bộ môn nghệ thuật đầy tính sáng tạo. Nhưng còn những câu hỏi khác cần được xem xét, cụ thể như “tính thiết thực” (hay sự vô dụng) của toán học mà chúng ta còn băn khoăn nhiều về nó. Chúng ta cũng phải suy ngẫm xem toán học có thực sự “vô hại” như tôi đã giả định trong bài giảng ở Oxford hay không.

Một môn khoa học ngay nghệ thuật có thể được cho là “có ích” nếu sự phát triển của nó làm tăng, thậm chí trực tiếp, tiện nghi và vật chất của con người, hay làm tăng niềm hạnh phúc, ở đây hạnh phúc được hiểu theo nghĩa thông thường của nó. Vì thế, y học và sinh lý học là có ích vì chúng làm giảm sự đau đớn, và công việc của các kỹ sư là có ích vì nó giúp chúng ta xây nhà và cầu, do đó làm tăng chất lượng cuộc sống (nghề kỹ sư cũng gây hại nhưng đây không phải là câu hỏi hiện tại). Một phần của toán học cũng có ích theo nghĩa này; các kỹ sư không thể tiến hành công việc mà không có một lượng kiến thức toán học nhất định, và toán học bắt đầu có những ứng dụng ngay cả trong sinh lý học. Vì thế chúng ta có một cơ sở để bảo vệ cho toán học; nó có thể không là tốt nhất, hoặc thậm chí không phải là một điểm mạnh, nhưng nó là điều mà chúng ta phải xem xét. Nhiệm vụ “cao cả” của toán học - cái mà nó có chung với tất cả các môn nghệ thuật sáng tạo – sẽ không liên quan tới sự nghiên cứu của chúng ta. Toán học, giống như thi ca hay âm nhạc, có thể “phát triển và duy trì một trạng thái tột độ về trí tuệ”, và do đó làm tăng niềm hạnh phúc của các nhà toán học và ngay cả của những người khác; nhưng lập luận trên cơ sở này đơn thuần chỉ là làm rõ hơn những gì tôi đã nói. Cái mà chúng ta cần xem xét bây giờ chính là tính thực tiễn “đơn thuần” của toán học.

Tất cả những điều này đều có vẻ rất rõ ràng, nhưng vẫn còn nhiều nhầm lẫn ở đây, vì những ngành “có ích” nhất thường chỉ là những ngành vô ích cho phần lớn trong chúng ta để học. Đúng là cần có một số lượng cần thiết những nhà sinh lý học và những kĩ sư; nhưng sinh lí học và khoa công trình không phải là những môn học có ích cho người bình thường (mặc dù những môn học đó có thể được bảo vệ bằng các luận điểm khác). Về phần tôi, tôi chưa bao giờ cảm thấy bất cứ kiến thức khoa học nào khác ngoài toán thuần túy đã cho tôi một lợi ích nhỏ nhất nào.

Thật ngạc nhiên khi biết rằng các giá trị thực tiễn mà kiến thức khoa học đem lại cho người bình thường nhỏ bé thế nào, rằng những kiến thức có giá trị lại đần độn và tầm thường thế nào, và rằng giá trị của chúng có vẻ hầu như tỷ lệ nghịch với tính thiết thực nổi tiếng của chúng. Những thao tác nhanh về các phép tính số học thông thường (và đó đương nhiên là toán thuần túy) có thể có ích. Tương tự đối với một ít khả năng về ngôn ngữ - tiếng Pháp hoặc tiếng Đức, một ít kiến thức về địa lý, hoặc có thể là kinh tế. Nhưng hóa học, vật lý, hoặc sinh lý học không có một chút giá trị nào trong cuộc sống thường ngày. Chúng ta biết rằng khí đốt sẽ cháy mà không cần biết cấu tạo của chúng; khi xe hư chúng ta có thể đưa ra tiệm sửa chữa; và khi dạ dày bị rối loạn, chúng ta tới bác sĩ hoặc tiệm thuốc. Chúng ta sống nhờ những quy luật nhất định hoặc dựa trên những kiến thức chuyên môn của những người khác.

Tuy nhiên, đây chỉ là một vấn đề phụ, một vấn đề sư phạm, đáng quan tam đối với các ông hiệu trưởng hay khuyên các bậc cha mẹ một cách ầm ĩ về một nền giáo dục “có ích” cho con của họ. Tuy nhiên chúng ta không tính nói, khi chúng ta nói sinh lý học là có ích, rằng đa số phải học sinh lý học, mà rằng sự phát triển của sinh lý học do một số các chuyên gia sẽ giúp đỡ những người còn lại. Những câu hỏi quan trọng đối với chúng ta bây giờ là, toán học có thể khẳng định những lợi ích về mặt này đến bao xa, những ngành toán học nào có thể khẳng định một cách mạnh mẽ nhất, và những ngành toán chuyên sâu nhất, mà có thể hiểu được bởi các nhà toán học, có thể được bảo vệ chỉ dựa trên lý lẽ này.
Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here. Edit