Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 12
Giới hạn
Thứ tư, ngày 28 tháng một năm 2009
"Sự tổng quát" là một từ mơ hồ và hơn thế nữa khá nguy hiểm, và chúng ta phải cẩn thận tránh không để nó chi phối cuộc thảo luận của chúng ta quá nhiều. Nó được dùng trong nhiều ngữ cảnh cả trong toán học và những bài viết về toán học, và nói riêng thì một trong số đó đã được các nhà lô gíc đặt một sự quan tâm rất lớn nhưng hoàn toàn không liên quan gì đến những gì chúng ta nói ở đây. Theo nghĩa đơn giản đó thì tất cả các định lý toán học là hoàn toàn "tổng quát" và tổng quát như nhau.
"Sự chính xác của toán học", nói như Whitehead (*), "phụ thuộc vào sự tổng quát hóa trừu tượng đầy đủ của nó". Khi chúng ta khẳng định rằng 2 + 3 = 5, chúng ta đang khẳng định một mối quan hệ giữa ba nhóm "đối tượng"; và các "đối tượng" này không phải là những quả táo hay những đồng xu, hay bất kỳ một loại đối tượng riêng biệt nào, mà chỉ đơn giản là các đối tượng, "bất kỳ đối tượng nào". Ý nghĩa của khẳng định này hoàn toàn phụ thuộc vào các cá thể của các phần tử của các nhóm. Tất cả các "đối tượng", hay "thực thể", hay "quan hệ" toán học như "2", "3", "5", "+", hay "=", và tất cả các mệnh đề toán học theo thứ tự chúng xuất hiện đều hoàn toàn tổng quát, theo nghĩa hoàn toàn trừu tượng. Thực tế, một trong những từ của Whitehead là không cần thiết, vì sự tổng quát theo nghĩa này chính là sự trừu tượng.
Ý nghĩa này là rất quan trọng, và các nhà lô gíc đã khá đúng khi nhấn mạnh nó, vì nó chứa đựng một chân lý mà nhiều người lẽ ra nên biết lại thường quên mất. Nó khá là phổ biến, ví dụ như, cho một nhà thiên văn học hay một nhà vật lý tuyên bố rằng anh ta đã tìm ra "một chứng minh toán học" rằng vũ trụ phải theo một trạng thái riêng biệt nào đó. Tất cả những khẳng định này, nếu được dịch một cách chính xác, đều hoàn toàn vô nghĩa. Đơn giản là việc chứng minh toán học rằng ngày mai sẽ có nhật thực là không thể, vì nhật thực, hay các hiện tượng vật lý khác, không cấu thành một phần nào của thế giới trừu tượng của toán học; và điều này tôi cho rằng, tất cả các nhà thiên văn sẽ công nhận khi bị hỏi, bất kể bao nhiêu nhật thực mà họ đã dự đoán đúng.
Rõ ràng là chúng ta không quan tâm đến kiểu "tổng quát" như thế này bây giờ. Chúng ta đang tìm kiếm sự khác biệt của tổng quát giữa một định lý toán học với một định lý khác, và theo nghĩa của Whitehead tất cả đều bằng nhau. Do đó các định lý "tầm thường" (a) và (b) của phần 15 chỉ đơn giản "trừu tượng" hay "tổng quát" như những định lý của Euclid và Pythagoras, và cũng như một ván cờ vua. Sẽ không có sự khác biệt nào cho một ván cờ nếu các quân là trắng và đen, hay đỏ và xanh, hay nếu có các "quân cờ" thực sự; nó vẫn là một bài toán giống hệt mà một chuyên gia dễ dàng suy nghĩ trong đầu và chúng ta phải thiết kế lại với nhiều công sức và sự trợ giúp của chiếc bảng đen. Chiếc bảng và các quân cờ chỉ đơn giản là các công cụ để kích thích trí tưởng tượng của chúng ta, và với một bài toán nó không quan trọng như chiếc bảng đen và viên phấn đối với các định lý trong một buổi giảng toán học.
Kiểu tổng quát quen thuộc trong tất cả các định lý toán học này không phải là thứ mà chúng ta kiếm tìm, mà là sự tổng quát tinh tế và khó nắm bắt tôi đã cố miêu tả trong phần 15. Và chúng ta phải cẩn thận không quá nhấn mạnh ngay cả trong sự tổng quát loại này (như tôi nghĩ các nhà lô gíc học như Whitehead thường hay vậy). Những thành tựu tiêu biểu của toán học hiện đại không chỉ đơn giản là "chất đống những sự tổng quát này một cách tinh tế trên những sự tổng quát khác " (**). Một ít sự tổng quát phải xuất hiện trong bất cứ một định lý kinh điển nào, nhưng quá nhiều sẽ dẫn đến sự vô vị một cách không tránh khỏi. "Mọi vật chỉ đơn giản là nó, và không phải là một vật khác", và sự khác biệt giữa các sự vật cũng thú vị như sự giống nhau của chúng. Chúng ta không chọn bạn bè bởi vì họ hội tụ đủ các phẩm chất tốt đẹp của con người, mà bởi họ là những người của chính họ. Và trong toán học cũng vậy; một tính chất phổ biến với quá nhiều đối tượng khó có thể còn tính hấp dẫn, và các ý tưởng toán học cũng trở nên lờ mờ trừ phi chúng có rất nhiều cá thể riêng biệt. Ở đây dù sao tôi cũng có thể trích dẫn Whitehead về phía tôi: "một sự thai nghén thành công là sự tổng quát hóa rộng, nhưng giới hạn bởi một cá thể". (***)
(*) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 33
(**) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 44
(***) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 46
Tính chất thứ hai mà tôi đòi hỏi trong một ý tưởng quan trọng là chiều sâu, và tính chất này càng khó định nghĩa hơn. Nó liên hệ với độ khó theo một cách nào đó; ý tưởng càng “sâu” càng khó tiếp nhận hơn: nhưng chúng không hoàn toàn giống nhau. Ý tưởng ẩn dưới định lý Pythagoras và những hướng tổng quát của nó khá sâu, nhưng không một nhà toán học thời nay nào lại xem chúng là khó. Mặt khác, một định lý có thể nông cạn về bản chất nhưng lại rất khó chứng minh (ví dụ như những định lý Diophante về lời giải của các phương trình nghiệm nguyên).
Dường như các ý tưởng toán học được sắp xếp theo nhiều tầng, trong mỗi tầng, các ý tưởng được liên kết với nhau bằng những quan hệ phức tạp giữa chúng và với các ý tưởng ở tầng khác. Càng ở tầng thấp hơn, các ý tưởng càng sâu hơn (và thông thường, càng khó hơn). Do đó, ý tưởng về “số vô tỷ” sâu hơn ý tưởng về số nguyên; và định lý Pythagoras vì thế mà sâu hơn định lý Euclid.
Chúng ta hãy chú ý tới mối quan hệ giữa các số nguyên, hay một nhóm các đối tượng nằm trong một tầng nào đó. Khi ấy một trong những liên hệ có thể được hiểu hoàn toàn, chúng ta có thể nhận ra và chứng minh, chẳng hạn như, một tính chất nào đó của số nguyên, mà không cần dùng tới nội dung của tầng bên dưới. Do đó chúng ta chứng minh định lý Euclid mà chỉ dùng các tính chất của số nguyên. Nhưng còn nhiều định lý về số nguyên mà chúng ta không thể hiểu được hay chứng minh được hoàn toàn mà không cần đào sâu hơn và xem xét những gì xảy ra bên dưới.
Chúng ta có thể dễ dàng tìm các ví dụ trong lý thuyết về số nguyên tố. Định lý Euclid rất quan trọng, nhưng không sâu: chúng ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố mà không cần dùng khái niệm nào sâu hơn “tính chia hết”. Nhưng những câu hỏi mới lại xuất hiện khi chúng ta tìm ra câu trả lời trước. Có vô số số nguyên tố, nhưng chúng được phân bố vô hạn như thế nào? Cho một số N rất lớn, ví dụ 10^80 hay 10^{10^10} (1), có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn N (2)? Khi đặt ra những câu hỏi này, chúng ta đã đặt chúng ta ở một vị trí hoàn toàn khác. Chúng ta có thể trả lời chúng, với một độ chính xác đáng ngạc nhiên, nhưng bằng cách đào thật sâu bên dưới, để lại các số nguyên bên trên và sử dụng những vũ khí mạnh nhất trong lý thuyết hiện đại về hàm số. Do đó định lý trả lời những câu hỏi của chúng ta (được gọi là “Định lý số nguyên tố”) là một định lý sâu hơn rất nhiều so với Pythagoras và Euclid.
Tôi có thể làm tăng thêm các ví dụ, nhưng khái niệm về “chiều sâu” rất khó nắm bắt, ngay cả đối với một nhà toán học đã nhận ra nó, và tôi không nghĩ rằng tôi có thể nói gì hơn nữa để giúp bạn đọc hiểu hơn.
(1) Người ta cho rằng số proton trong vũ trụ là khoảng 10^80. Số 10^{10^10} nếu viết ra sẽ chiếm khoảng 50,000 cuốn sách kích cỡ trung bình.
(2) Như tôi đã nói trong chương 14, có khoảng 50,847,478 số nguyên tố nhỏ hơn 1,000,000,000; nhưng đây là mức xa nhất mà chúng ta có thể biết chính xác.
Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here. Edit
"Sự chính xác của toán học", nói như Whitehead (*), "phụ thuộc vào sự tổng quát hóa trừu tượng đầy đủ của nó". Khi chúng ta khẳng định rằng 2 + 3 = 5, chúng ta đang khẳng định một mối quan hệ giữa ba nhóm "đối tượng"; và các "đối tượng" này không phải là những quả táo hay những đồng xu, hay bất kỳ một loại đối tượng riêng biệt nào, mà chỉ đơn giản là các đối tượng, "bất kỳ đối tượng nào". Ý nghĩa của khẳng định này hoàn toàn phụ thuộc vào các cá thể của các phần tử của các nhóm. Tất cả các "đối tượng", hay "thực thể", hay "quan hệ" toán học như "2", "3", "5", "+", hay "=", và tất cả các mệnh đề toán học theo thứ tự chúng xuất hiện đều hoàn toàn tổng quát, theo nghĩa hoàn toàn trừu tượng. Thực tế, một trong những từ của Whitehead là không cần thiết, vì sự tổng quát theo nghĩa này chính là sự trừu tượng.
Ý nghĩa này là rất quan trọng, và các nhà lô gíc đã khá đúng khi nhấn mạnh nó, vì nó chứa đựng một chân lý mà nhiều người lẽ ra nên biết lại thường quên mất. Nó khá là phổ biến, ví dụ như, cho một nhà thiên văn học hay một nhà vật lý tuyên bố rằng anh ta đã tìm ra "một chứng minh toán học" rằng vũ trụ phải theo một trạng thái riêng biệt nào đó. Tất cả những khẳng định này, nếu được dịch một cách chính xác, đều hoàn toàn vô nghĩa. Đơn giản là việc chứng minh toán học rằng ngày mai sẽ có nhật thực là không thể, vì nhật thực, hay các hiện tượng vật lý khác, không cấu thành một phần nào của thế giới trừu tượng của toán học; và điều này tôi cho rằng, tất cả các nhà thiên văn sẽ công nhận khi bị hỏi, bất kể bao nhiêu nhật thực mà họ đã dự đoán đúng.
Rõ ràng là chúng ta không quan tâm đến kiểu "tổng quát" như thế này bây giờ. Chúng ta đang tìm kiếm sự khác biệt của tổng quát giữa một định lý toán học với một định lý khác, và theo nghĩa của Whitehead tất cả đều bằng nhau. Do đó các định lý "tầm thường" (a) và (b) của phần 15 chỉ đơn giản "trừu tượng" hay "tổng quát" như những định lý của Euclid và Pythagoras, và cũng như một ván cờ vua. Sẽ không có sự khác biệt nào cho một ván cờ nếu các quân là trắng và đen, hay đỏ và xanh, hay nếu có các "quân cờ" thực sự; nó vẫn là một bài toán giống hệt mà một chuyên gia dễ dàng suy nghĩ trong đầu và chúng ta phải thiết kế lại với nhiều công sức và sự trợ giúp của chiếc bảng đen. Chiếc bảng và các quân cờ chỉ đơn giản là các công cụ để kích thích trí tưởng tượng của chúng ta, và với một bài toán nó không quan trọng như chiếc bảng đen và viên phấn đối với các định lý trong một buổi giảng toán học.
Kiểu tổng quát quen thuộc trong tất cả các định lý toán học này không phải là thứ mà chúng ta kiếm tìm, mà là sự tổng quát tinh tế và khó nắm bắt tôi đã cố miêu tả trong phần 15. Và chúng ta phải cẩn thận không quá nhấn mạnh ngay cả trong sự tổng quát loại này (như tôi nghĩ các nhà lô gíc học như Whitehead thường hay vậy). Những thành tựu tiêu biểu của toán học hiện đại không chỉ đơn giản là "chất đống những sự tổng quát này một cách tinh tế trên những sự tổng quát khác " (**). Một ít sự tổng quát phải xuất hiện trong bất cứ một định lý kinh điển nào, nhưng quá nhiều sẽ dẫn đến sự vô vị một cách không tránh khỏi. "Mọi vật chỉ đơn giản là nó, và không phải là một vật khác", và sự khác biệt giữa các sự vật cũng thú vị như sự giống nhau của chúng. Chúng ta không chọn bạn bè bởi vì họ hội tụ đủ các phẩm chất tốt đẹp của con người, mà bởi họ là những người của chính họ. Và trong toán học cũng vậy; một tính chất phổ biến với quá nhiều đối tượng khó có thể còn tính hấp dẫn, và các ý tưởng toán học cũng trở nên lờ mờ trừ phi chúng có rất nhiều cá thể riêng biệt. Ở đây dù sao tôi cũng có thể trích dẫn Whitehead về phía tôi: "một sự thai nghén thành công là sự tổng quát hóa rộng, nhưng giới hạn bởi một cá thể". (***)
(*) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 33
(**) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 44
(***) Khoa học và thế giới hiện đại, trang 46
Tính chất thứ hai mà tôi đòi hỏi trong một ý tưởng quan trọng là chiều sâu, và tính chất này càng khó định nghĩa hơn. Nó liên hệ với độ khó theo một cách nào đó; ý tưởng càng “sâu” càng khó tiếp nhận hơn: nhưng chúng không hoàn toàn giống nhau. Ý tưởng ẩn dưới định lý Pythagoras và những hướng tổng quát của nó khá sâu, nhưng không một nhà toán học thời nay nào lại xem chúng là khó. Mặt khác, một định lý có thể nông cạn về bản chất nhưng lại rất khó chứng minh (ví dụ như những định lý Diophante về lời giải của các phương trình nghiệm nguyên).
Dường như các ý tưởng toán học được sắp xếp theo nhiều tầng, trong mỗi tầng, các ý tưởng được liên kết với nhau bằng những quan hệ phức tạp giữa chúng và với các ý tưởng ở tầng khác. Càng ở tầng thấp hơn, các ý tưởng càng sâu hơn (và thông thường, càng khó hơn). Do đó, ý tưởng về “số vô tỷ” sâu hơn ý tưởng về số nguyên; và định lý Pythagoras vì thế mà sâu hơn định lý Euclid.
Chúng ta hãy chú ý tới mối quan hệ giữa các số nguyên, hay một nhóm các đối tượng nằm trong một tầng nào đó. Khi ấy một trong những liên hệ có thể được hiểu hoàn toàn, chúng ta có thể nhận ra và chứng minh, chẳng hạn như, một tính chất nào đó của số nguyên, mà không cần dùng tới nội dung của tầng bên dưới. Do đó chúng ta chứng minh định lý Euclid mà chỉ dùng các tính chất của số nguyên. Nhưng còn nhiều định lý về số nguyên mà chúng ta không thể hiểu được hay chứng minh được hoàn toàn mà không cần đào sâu hơn và xem xét những gì xảy ra bên dưới.
Chúng ta có thể dễ dàng tìm các ví dụ trong lý thuyết về số nguyên tố. Định lý Euclid rất quan trọng, nhưng không sâu: chúng ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố mà không cần dùng khái niệm nào sâu hơn “tính chia hết”. Nhưng những câu hỏi mới lại xuất hiện khi chúng ta tìm ra câu trả lời trước. Có vô số số nguyên tố, nhưng chúng được phân bố vô hạn như thế nào? Cho một số N rất lớn, ví dụ 10^80 hay 10^{10^10} (1), có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn N (2)? Khi đặt ra những câu hỏi này, chúng ta đã đặt chúng ta ở một vị trí hoàn toàn khác. Chúng ta có thể trả lời chúng, với một độ chính xác đáng ngạc nhiên, nhưng bằng cách đào thật sâu bên dưới, để lại các số nguyên bên trên và sử dụng những vũ khí mạnh nhất trong lý thuyết hiện đại về hàm số. Do đó định lý trả lời những câu hỏi của chúng ta (được gọi là “Định lý số nguyên tố”) là một định lý sâu hơn rất nhiều so với Pythagoras và Euclid.
Tôi có thể làm tăng thêm các ví dụ, nhưng khái niệm về “chiều sâu” rất khó nắm bắt, ngay cả đối với một nhà toán học đã nhận ra nó, và tôi không nghĩ rằng tôi có thể nói gì hơn nữa để giúp bạn đọc hiểu hơn.
(1) Người ta cho rằng số proton trong vũ trụ là khoảng 10^80. Số 10^{10^10} nếu viết ra sẽ chiếm khoảng 50,000 cuốn sách kích cỡ trung bình.
(2) Như tôi đã nói trong chương 14, có khoảng 50,847,478 số nguyên tố nhỏ hơn 1,000,000,000; nhưng đây là mức xa nhất mà chúng ta có thể biết chính xác.
Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here. Edit
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
