Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 11
Giới hạn
Thứ sáu, ngày 23 tháng một năm 2009
Trước hết, sự thống trị của các định lý toán học trong tính nghiêm túc là hiển nhiên và quá lớn lao. Một thế cờ là tổng hợp của các bước đi thông minh nhưng rất hạn chế trong độ phức tạp của ý tưởng, về cơ bản chúng thường không khác nhau là mấy và không có ảnh hưởng gì bên ngoài. Chúng ta có thể đặt trong trường hợp như cờ vua chưa bao giờ được khám phá ra, trong khi đó các định lý của Euclid và Pythagoras đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến cách suy nghĩ, thậm chí cả bên ngoài toán học.
Cũng như vậy định lý của Euclid là thiết yếu cho toàn bộ cấu trúc của số học. Số nguyên tố là những yếu tố cơ bản từ đó chúng ta xây dựng nên lý thuyết số, và định lý Euclid đảm bảo rằng chúng ta có vô số các yếu tố cơ bản để làm việc đó. Nhưng định lý của Pythagoras còn có ứng dụng rộng lớn hơn và cung cấp một kết quả tốt hơn.
Đầu tiên chúng ta nên thấy rằng lập luận của Pythagoras có thể mở rộng ra xa hơn nữa, và có thể được áp dụng, với rất ít thay đổi về nguyên tắc, cho một lớp lớn các số "vô tỷ". Chúng ta có thể chứng minh một cách tương tự rằng (như Theodorus có lẽ đã làm)
√‾3, √‾5, √‾7, √‾11, √‾13, √‾17
là vô tỷ, hay (đi xa hơn so với Theodorus) rằng 3√‾2, 3√‾17 cũng là vô tỷ (*).
Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng chúng ta có những yếu tố cơ bản để xây dựng nên một hệ thống chặt chẽ các số nguyên. Định lý Pythagoras và những mở rộng của nó còn chứng tỏ rằng khi ta đã cấu tạo nên hệ thống số này, điều đó vẫn còn chưa đủ, vì vẫn còn rất nhiều độ dài buộc chúng ta phải chú ý vì chúng không thể đo được; đường chéo của một hình vuông là một ví dụ rõ ràng nhất. Sự quan trọng sâu sắc của phát hiện này đã được nhận ra bởi các nhà toán học Hy Lạp. Họ đã bắt đầu bằng cách giả sử (thêm vào đó, tôi cho rằng, là ảnh hưởng “tự nhiên” của “trực quan”) tất cả các độ dài cùng đơn vị đều có thể đo được, rằng bất cứ hai độ dài nào cũng là bội số của một đơn vị chung, và họ đã xây dựng một lý thuyết về tỷ lệ dựa trên giả định này. Phát hiện của Pythagoras đã chỉ ra sự vô lý của cơ sở này, và dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết sâu sắc hơn của Eudoxus, được nêu ra trong cuốn thứ năm của bộ Elements, bộ sách được các nhà toán học đánh giá là thành tựu vĩ đại nhất của nền toán học Hy Lạp. Lý thuyết này chứa đựng một tư tưởng hiện đại đáng ngạc nhiên, và có thể được xem như sự khởi đầu của lý thuyết hiện đại về các số vô tỷ, điều này đã tạo ra một cuộc cách mạng cho giải tích toán học, và có nhiều ảnh hưởng hơn đến nền triết học hiện tại.
Không còn nghi ngờ gì về tính “nghiêm túc” của hai định lý trên. Do đó tốt hơn là ta chú ý rằng không có định lý nào trong chúng có một ý nghĩa thực tiễn dù nhỏ nhất. Trong các ứng dụng thực tiễn chúng ta chỉ quan tâm tới các số nhỏ vừa phải; chỉ có ngành thiên văn học nghiên cứu các vì sao và vật lý nguyên tử liên quan tới các số “lớn”, và chúng có rất ít ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn nào khác ngoại trừ trong toán học trừu tượng thuần túy nhất. Tôi không biết độ chính xác cao nhất mà một kỹ sư cho là cần thiết – chúng ta sẽ rất hào phóng nếu đưa ra mười chữ số quan trọng. Khi đó
3,14159265
(giá trị của Pi với tám chữ số thập phân) là tỷ số
314159265 / 1000000000
của hai số với mười chữ số. Số các số nguyên tố bé hơn 1.000.000.000 là 50.847.478: điều này là đủ đối với một kỹ sư và anh ta hoàn toàn hạnh phúc với chúng mà không cần những con số còn lại. Định lý Euclid là dư thừa; và đối với định lý Pythagoras, rõ ràng là các số vô tỷ đều không hấp dẫn đối với một kỹ sư, vì anh ta chỉ quan tâm tới các xấp xỉ, mà các xấp xỉ đều là số hữu tỷ.
(*) Xem chương IV cuốn "Introduction to the Theory of Numbers" của Hardy và Wright, về những bàn luận các hướng tổng quát khác nhau trong lý luận của Pythagoras, và một câu hỏi lịch sử về Theodorus.
Một định lý “nghiêm túc” là một định lý chứa đựng các ý tưởng “quan trọng”, và tôi cho rằng tôi cần phân tích kỹ hơn những đặc tính làm cho một ý tưởng toán học trở nên quan trọng. Điều này rất khó, và không chắc rằng tôi có thể đưa ra một sự phân tích nào thật sự có giá trị. Chúng ta có thể nhận ra một ý tưởng “quan trọng” khi chúng ta thấy nó, cũng như chúng đã xuất hiện trong hai định lý mà tôi đã đưa ra; nhưng khả năng nhận biết này đòi hỏi một mức độ phức tạp cao, và sự quen thuộc với các ý tưởng toán học mà chỉ đến sau nhiều năm nghiên cứu. Vì thế tôi phải thử nghiệm một cách phân tích nào đó; và dù không đầy đủ, nó phải hợp lý và dễ hiểu khi được đưa ra. Có hai tính chất mà lúc nào cũng cần thiết, một mức độ tổng quát và một độ sâu nhất định; nhưng không đặc tính nào có thể được định nghĩa chính xác hoàn toàn một cách dễ dàng.
Một ý tưởng toán học quan trọng, một định lý toán học nghiêm túc phải “tổng quát” theo nghĩa sau. Ý tưởng phải là sự hợp thành từ nhiều cấu trúc toán học và được dùng trong các chứng minh của nhiều loại định lý khác nhau. Định lý dù ban đầu được phát biểu (như định lý Pythagoras) theo một dạng khá đặc biệt, nhưng phải có khả năng mở rộng đáng kể và tiêu biểu cho một lớp các định lý cùng loại. Mối tương quan thể hiện qua định lý phải kết nối nhiều ý tưởng toán học quan trọng. Tất cả các điều trên đều không rõ ràng và tùy thuộc vào nhiều yếu tố định trước. Nhưng chúng đủ dễ dàng để nhận ra một định lý không hẳn là nghiêm túc khi nó thiếu các đặc tính trên một cách rõ ràng; chúng ta chỉ cần lấy ra một số ví dụ từ các tính chất đặc biệt trong số học. Tôi đưa ra hai ví dụ, hầu như ngẫu nhiên, từ cuốn Giải trí Toán học của Rouse Ball *.
(a) 8712 và 9801 là hai số có bốn chữ số duy nhất mà là bội số của các “số đảo ngược” của chính chúng.
8712 = 4 . 2178, 9801 = 9 . 1089,
và không còn số nào khác bé hơn 10,000 có tính chất này.
(b) Chỉ có bốn số bằng tổng của lập phương các chữ số của chúng, đó là
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3, 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3, 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3
Đó là những sự thật lạ kỳ, rất thích hợp cho các câu đố toán học và hấp dẫn những người nghiệp dư, nhưng chúng không có gì để lôi cuốn một nhà toán học. Chứng minh không khó hay thú vị - chỉ đơn thuần là một chút mệt nhọc. Định lý không nghiêm túc; và có lẽ một lý do (dù không hẳn là quan trọng nhất) là tính đặc biệt quá mức của cả đề bài lẫn chứng minh, mà điều này không thể tạo ra một sự tổng quát quan trọng nào.
* Ấn bản thứ 11, 1939 (sửa chữa bởi H.S.M. Coxeter)
Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here. Edit
Cũng như vậy định lý của Euclid là thiết yếu cho toàn bộ cấu trúc của số học. Số nguyên tố là những yếu tố cơ bản từ đó chúng ta xây dựng nên lý thuyết số, và định lý Euclid đảm bảo rằng chúng ta có vô số các yếu tố cơ bản để làm việc đó. Nhưng định lý của Pythagoras còn có ứng dụng rộng lớn hơn và cung cấp một kết quả tốt hơn.
Đầu tiên chúng ta nên thấy rằng lập luận của Pythagoras có thể mở rộng ra xa hơn nữa, và có thể được áp dụng, với rất ít thay đổi về nguyên tắc, cho một lớp lớn các số "vô tỷ". Chúng ta có thể chứng minh một cách tương tự rằng (như Theodorus có lẽ đã làm)
√‾3, √‾5, √‾7, √‾11, √‾13, √‾17
là vô tỷ, hay (đi xa hơn so với Theodorus) rằng 3√‾2, 3√‾17 cũng là vô tỷ (*).
Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng chúng ta có những yếu tố cơ bản để xây dựng nên một hệ thống chặt chẽ các số nguyên. Định lý Pythagoras và những mở rộng của nó còn chứng tỏ rằng khi ta đã cấu tạo nên hệ thống số này, điều đó vẫn còn chưa đủ, vì vẫn còn rất nhiều độ dài buộc chúng ta phải chú ý vì chúng không thể đo được; đường chéo của một hình vuông là một ví dụ rõ ràng nhất. Sự quan trọng sâu sắc của phát hiện này đã được nhận ra bởi các nhà toán học Hy Lạp. Họ đã bắt đầu bằng cách giả sử (thêm vào đó, tôi cho rằng, là ảnh hưởng “tự nhiên” của “trực quan”) tất cả các độ dài cùng đơn vị đều có thể đo được, rằng bất cứ hai độ dài nào cũng là bội số của một đơn vị chung, và họ đã xây dựng một lý thuyết về tỷ lệ dựa trên giả định này. Phát hiện của Pythagoras đã chỉ ra sự vô lý của cơ sở này, và dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết sâu sắc hơn của Eudoxus, được nêu ra trong cuốn thứ năm của bộ Elements, bộ sách được các nhà toán học đánh giá là thành tựu vĩ đại nhất của nền toán học Hy Lạp. Lý thuyết này chứa đựng một tư tưởng hiện đại đáng ngạc nhiên, và có thể được xem như sự khởi đầu của lý thuyết hiện đại về các số vô tỷ, điều này đã tạo ra một cuộc cách mạng cho giải tích toán học, và có nhiều ảnh hưởng hơn đến nền triết học hiện tại.
Không còn nghi ngờ gì về tính “nghiêm túc” của hai định lý trên. Do đó tốt hơn là ta chú ý rằng không có định lý nào trong chúng có một ý nghĩa thực tiễn dù nhỏ nhất. Trong các ứng dụng thực tiễn chúng ta chỉ quan tâm tới các số nhỏ vừa phải; chỉ có ngành thiên văn học nghiên cứu các vì sao và vật lý nguyên tử liên quan tới các số “lớn”, và chúng có rất ít ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn nào khác ngoại trừ trong toán học trừu tượng thuần túy nhất. Tôi không biết độ chính xác cao nhất mà một kỹ sư cho là cần thiết – chúng ta sẽ rất hào phóng nếu đưa ra mười chữ số quan trọng. Khi đó
3,14159265
(giá trị của Pi với tám chữ số thập phân) là tỷ số
314159265 / 1000000000
của hai số với mười chữ số. Số các số nguyên tố bé hơn 1.000.000.000 là 50.847.478: điều này là đủ đối với một kỹ sư và anh ta hoàn toàn hạnh phúc với chúng mà không cần những con số còn lại. Định lý Euclid là dư thừa; và đối với định lý Pythagoras, rõ ràng là các số vô tỷ đều không hấp dẫn đối với một kỹ sư, vì anh ta chỉ quan tâm tới các xấp xỉ, mà các xấp xỉ đều là số hữu tỷ.
(*) Xem chương IV cuốn "Introduction to the Theory of Numbers" của Hardy và Wright, về những bàn luận các hướng tổng quát khác nhau trong lý luận của Pythagoras, và một câu hỏi lịch sử về Theodorus.
Một định lý “nghiêm túc” là một định lý chứa đựng các ý tưởng “quan trọng”, và tôi cho rằng tôi cần phân tích kỹ hơn những đặc tính làm cho một ý tưởng toán học trở nên quan trọng. Điều này rất khó, và không chắc rằng tôi có thể đưa ra một sự phân tích nào thật sự có giá trị. Chúng ta có thể nhận ra một ý tưởng “quan trọng” khi chúng ta thấy nó, cũng như chúng đã xuất hiện trong hai định lý mà tôi đã đưa ra; nhưng khả năng nhận biết này đòi hỏi một mức độ phức tạp cao, và sự quen thuộc với các ý tưởng toán học mà chỉ đến sau nhiều năm nghiên cứu. Vì thế tôi phải thử nghiệm một cách phân tích nào đó; và dù không đầy đủ, nó phải hợp lý và dễ hiểu khi được đưa ra. Có hai tính chất mà lúc nào cũng cần thiết, một mức độ tổng quát và một độ sâu nhất định; nhưng không đặc tính nào có thể được định nghĩa chính xác hoàn toàn một cách dễ dàng.
Một ý tưởng toán học quan trọng, một định lý toán học nghiêm túc phải “tổng quát” theo nghĩa sau. Ý tưởng phải là sự hợp thành từ nhiều cấu trúc toán học và được dùng trong các chứng minh của nhiều loại định lý khác nhau. Định lý dù ban đầu được phát biểu (như định lý Pythagoras) theo một dạng khá đặc biệt, nhưng phải có khả năng mở rộng đáng kể và tiêu biểu cho một lớp các định lý cùng loại. Mối tương quan thể hiện qua định lý phải kết nối nhiều ý tưởng toán học quan trọng. Tất cả các điều trên đều không rõ ràng và tùy thuộc vào nhiều yếu tố định trước. Nhưng chúng đủ dễ dàng để nhận ra một định lý không hẳn là nghiêm túc khi nó thiếu các đặc tính trên một cách rõ ràng; chúng ta chỉ cần lấy ra một số ví dụ từ các tính chất đặc biệt trong số học. Tôi đưa ra hai ví dụ, hầu như ngẫu nhiên, từ cuốn Giải trí Toán học của Rouse Ball *.
(a) 8712 và 9801 là hai số có bốn chữ số duy nhất mà là bội số của các “số đảo ngược” của chính chúng.
8712 = 4 . 2178, 9801 = 9 . 1089,
và không còn số nào khác bé hơn 10,000 có tính chất này.
(b) Chỉ có bốn số bằng tổng của lập phương các chữ số của chúng, đó là
153 = 1^3 + 5^3 + 3^3, 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3, 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3
Đó là những sự thật lạ kỳ, rất thích hợp cho các câu đố toán học và hấp dẫn những người nghiệp dư, nhưng chúng không có gì để lôi cuốn một nhà toán học. Chứng minh không khó hay thú vị - chỉ đơn thuần là một chút mệt nhọc. Định lý không nghiêm túc; và có lẽ một lý do (dù không hẳn là quan trọng nhất) là tính đặc biệt quá mức của cả đề bài lẫn chứng minh, mà điều này không thể tạo ra một sự tổng quát quan trọng nào.
* Ấn bản thứ 11, 1939 (sửa chữa bởi H.S.M. Coxeter)
Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here. Edit
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
