Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 10

Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 10

Giới hạnThứ năm, ngày 22 tháng một năm 2009

Đã đăng - Phần 1 đến Phần 9
Ví dụ thứ hai của tôi là chứng minh của Pythagores về “tính vô tỷ” của √‾2.

Một “số hữu tỷ” là một phân số có dạng a/b, trong đó a, b là những số nguyên; chúng ta có thể giả sử a, b không có ước số chung, vì nếu có thì ta có thể giản ước nó. Nói “√‾2 là một số vô tỷ” đơn thuần là một cách diễn đạt khác tương đương với “2 không thể biểu diễn dưới dạng (a/b)^2”; và điều này cũng có nghĩa là phương trình
(B) a^2 = 2b^2
không thể thỏa mãn với các giá trị nguyên của a và b mà không có ước số chung nào. Đây là một định lý của số học thuần túy mà không đòi hỏi bất kì kiến thức nào về các “số vô tỷ” hay một lý thuyết nào về bản chất của chúng.

Chúng ta lại lý luận bằng phương pháp phản chứng; chúng ta giả sử rằng (B) có nghiệm, với a và b là các số nguyên không có ước số chung. Từ (B) có thể suy ra a^2 là số chẵn (vì 2b^2 chia hết cho 2), và do đó a là số chẵn (vì bình phương của một số lẻ là số lẻ). Vì a là số chẵn nên
(C) a = 2c
với c là một số nguyên; và do đó
2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2
hay
(D) b^2 = 2c^2
Suy ra b^2 là số chẵn, cho nên (cùng một lý do như trên) b là số chẵn. Ta có thể nói a và b cùng là số chẵn, và vì thế có cùng ước số chung 2. Điều này trái với giả định của chúng ta, do đó giả định trên là sai.

Từ định lý Pythagoras ta suy ra đường chéo của một hình vuông không thể so sánh với cạnh của chính nó (tỷ lệ độ dài của chúng không phải là số hữu tỷ, không có độ dài nào là bội số chung của cả hai độ dài trên). Vì nếu ta cho độ dài của cạnh bằng một đơn vị, thì độ dài của đường chéo là d, theo một công thức rất quen thuộc, cũng của Pythagoras*,
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2,
do đó d không thể là số hữu tỷ.

Tôi có thể đưa ra bất kỳ một số lượng nào về các định lý đẹp trong lý thuyết số mà mọi người có thể hiểu ý nghĩa của chúng. Ví dụ, có một định lý được gọi là “định lý cơ bản của số học” phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào đều có thể phân tích, bằng một cách duy nhất, thành tích của các số nguyên tố. Do đó 666 = 2.3.3.37, và không có cách phân tích nào khác; không thể là 666 = 2.11.19 hay 13.89 = 17.73 (và chúng ta có thể thấy điều này mà không cần tính các tích trên). Định lý này, như tên gọi của nó, là cơ sở của số học cao cấp hơn, nhưng chứng minh, dù không “khó”, đòi hỏi một số lượng kiến thức dẫn nhập nhất định và có thể làm mệt mỏi những độc giả không chuyên.

Một định lý đẹp và nổi tiếng khác là định lý “hai số chính phương” của Fermat. Các số nguyên tố (nếu chúng ta bỏ qua số nguyên tố đặc biệt 2) đều có thể được sắp xếp thành 2 nhóm; các số nguyên tố
5, 13, 17, 29, 41, …
khi chia 4 cho số dư là 1, và các số nguyên tố
3, 7, 11, 19, 23, 31, …
khi chia 4 cho số dư là 3. Tất cả các số nguyên tố trong nhóm đầu tiên, và không có số nguyên tố nào trong nhóm thứ hai, có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bình phương của 2 số nguyên: do đó
5 = 1^2 + 2^2, 13 = 2^2 + 3^2,
17 = 1^2 + 4^2, 29 = 2^2 + 5^2;
nhưng 3, 7, 11, và 19 đều không thể biểu diễn theo cách này (độc giả có thể tự kiểm chứng dễ dàng). Đây là định lý của Fermat mà có thể được đáng giá một cách rất thỏa đáng là một trong những định lý đẹp nhất của số học. Tiếc rằng không có chứng minh nào có thể hiểu được bởi những người không phải là các nhà toán học chuyên nghiệp.

Còn có những định lý đẹp khác trong “lý thuyết tập hợp” (Mengenlehre) như định lý Cantor về “tính không đếm được” của lực lượng continuum. Chứng minh trở nên dễ dàng một khi ngôn ngữ được nắm vững, nhưng một số lượng giải thích đáng kể trở nên cần thiết trước khi ý nghĩa của định lý trở nên rõ ràng. Vì thế tôi sẽ không cố gắng đưa thêm các ví dụ khác. Những định lý tôi đã dẫn chứng là những trường hợp tiêu biểu, và một độc giả nào không hiểu rõ giá trị của chúng thì sẽ không thể đánh giá đúng về bất kỳ điều gì trong toán học.

Tôi từng nói rằng nhà toán học là người vẽ nên các khuôn mẫu của ý tưởng, vẻ đẹp và tầm quan trọng là những tiêu chuẩn mà dựa trên đó những khuôn mẫu được đánh giá, tôi khó có thể tin là bất kỳ một ai hiểu được hai định lý trên lại có thể phản đối rằng chúng thỏa mãn những tính chất này. Nếu chúng ta so sánh chúng với những câu đố tinh xảo nhất của Dudeney, hay những ván cờ đẹp nhất mà những bậc thầy của nghệ thuật đó đã tạo ra, sự ưu việt trong cả hai tính tính chất đều nổi trội lên: có một sự khác biệt không thể nhầm lẫn được về đẳng cấp. Chúng quan trọng hơn, và cũng đẹp hơn; liệu chúng ta có thể định nghĩa, một cách chính xác hơn, vị trí của sự ưu việt đó?
Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here. Edit