Một số kinh nghiệm trong việc liên hệ các yếu tố toán học với thực tiễn

Một số kinh nghiệm trong việc liên hệ các yếu tố toán học với thực tiễn

Giới hạnThứ bảy, ngày 02 tháng năm năm 2009

Những khái niệm toán học ở bậc đại học vốn trừu tượng, những môn được mệnh danh hiện đại càng trừu tượng và mơ hồ đối với sinh viên mới học lần đầu. Ngoài việc truyền đạt chính xác, rõ ràng các khái niệm, định lý, tính chất toán học đó, giảng viên còn phải làm thế nào cho môn học thêm phần hấp dẫn, bớt khô khan, đem những điều tưởng chừng xa xăm lắm quay về với hiện thực. Đối với người học, ngoài việc hiểu rõ bản chất nội tại của các khái niệm toán học, nắm chắc các nội dung logic hình thức, thực hiện thành thạo các kỹ năng biến đổi, tính toán, họ phải liên hệ được với hiện thực mới thấy được vẻ đẹp và triết lý của vấn đề. Sinh viên sẽ thấy toán học thú vị hơn, kích thích người học chịu khó rèn luyện tư duy, sáng tạo và năng động hơn trong cuộc sống. Trong những giờ học toán dằng dặc, căng thẳng trên lớp, nếu giảng viên tìm được những mẩu chuyện, những ví dụ sinh động, thực tế thì không những đó là những mẹo chữa stress cho cả thầy, trò mà còn có thể xem như liều thuốc bổ, kích thích, tái tạo hưng phấn đối với sinh viên để họ tiếp tục giờ học của mình.

Có nhiều phương cách để liên hệ toán học hiện thực ở bậc đại học. Cần để ý rằng, môn toán nào càng trừu tượng thì phạm vi ứng dụng càng rộng rãi chừng ấy. Chúng ta có thể qua các thuật ngữ, qua những câu chuyện cổ tích, qua văn thơ, ca dao tục ngữ để minh hoạ, liên hệ, giải thích, chứng minh,…

1. Phân tích các thuật ngữ, khái niệm.

Các nhà toán học tiền bối của nước ta không chỉ giỏi về toán mà còn rành về ngôn ngữ nên khi chọn các từ Hán Việt hay thuần Việt để chuyển các thuật ngữ khoa học nước ngoài thành thuật ngữ Việt, bao giờ cũng cố tìm những từ chuyển tải ít nhiều nội hàm của khái niệm. Nhiều thuật ngữ ta cảm thấy rất quen thuộc tự nhiên, nhưng lúc đầu có lẽ không phải như vậy.

- Khái niệm “đồng phôi”. Theo định nghĩa, hai không gian tô pô X và Y được gọi đồng phôi với nhau nếu tồn tại song ánh, liên tục hai chiều f từ không gian này lên không gian kia. Tại sao thuật ngữ đồng phôi, nôm na là cùng mầm, được dùng ở đây? Mầm, phôi ở đây được hiểu chính là tôpô hay họ các tập mở trên các không gian tôpô, đó khái niêm cơ bản, ban đầu của lý thuyết các không gian tôpô mà những khái niệm, toán thể khác được xuất phát từ họ tập mở này. Nhờ song ánh song liên tục mà hai họ tập mở trên X và Y có sự tương ứng 1-1 với nhau nên chữ đồng phôi thay cho từ "homeomorphism" thật là đạt.

- Khái niệm “liên hiệp”. Trong thực tiễn thuật ngữ liên hiệp thường chỉ những sự kiện, đối tượng, tính chất có vai trò như nhau hoặc có thể thay thế lẫn nhau. Chúng ta thường nghe “Chính phủ liên hiệp”, Hội đồng liên hiệp,… thì trong toán, các khái niệm như không gian liên hiệp, toán tử liên hiệp cũng thể hiện rõ nét các ý tưởng ấy. Ta biết rằng, trong lý thuyết không gian định chuẩn, toán tử liên hiệp của một toán tử tuyến tính liên tục A nào đó thì hầu như có đầy đủ các tính chất của toán tử A và có thể đóng thế vai trò của A.

- Khái niệm "compact". Ngay từ định nghĩa ta thấy được bản chất của đối tượng toán học gắn với thuật ngữ này rồi, nhất là khi phát biểu các định lý Hausdorff, định lý Heine-Borel về tập compact, thể hiện rõ đặc trưng gọn gàng, nén chặt và tinh tế. Có thể nhắc lại một số thuật ngữ cũ nay không dùng như là "cơm nén", "áp súc", "liệt khẩn" để tạo không khí vui vẻ và nhấn mạnh thêm ý nghĩa của khái niệm này.

2. Minh hoạ nhờ chuyện cổ tích, chuyện vui.

Nhiều chuyện cổ tích trong và ngoài nước đôi khi ẩn chứa một sự kiện toán học nào đó ta có thể khai thác để kể trong lúc giảng bài đến chủ đề phù hợp. Vài ví dụ quen thuộc có thể dẫn ra như sau:

- Chuyện Vương Khải và Thạch Sùng khoe của: "Nhà anh có bất cứ bảo vật gì thì nhà tôi cũng có," Thạch Sùng tuyên bố. Vương Khải chấp nhận thách thức đánh cuộc để rồi cuối cùng Thạch Sùng ôm hận thất bại vì còn thiếu mẻ kho, có thể minh hoạ hai tập hợp không có cùng lực lượng.

- Chuyện về nhân vật Nasreddin của xứ sở BaTư. Một lần, nhà thông thái hỏi Nasreddin rằng, có bao nhiêu sợi lông trên đuôi con lừa mà ông ta đang cưỡi. Nasreddin trả lời rằng nó đúng bằng số râu của nhà thông thái. Khi yêu cầu chứng minh, Nasreddin bảo như sau: "Cứ mỗi lần ông nhổ một sợi lông trên đuôi lừa, tôi sẽ nhổ một sợi râu của ông. Chừng nào đuôi lừa trụi lông thì râu ông cũng sẽ hết. Đó là chứng minh".

Như vậy, ta có ví dụ về cách chứng minh 2 tập có cùng lực lượng bằng việc thực hiện một song ánh.

- Câu chuyện về anh chàng cạo râu không tự cạo cho mình: Chúng ta biết rằng, khái niệm "tập hợp" ban đầu được dùng rộng rãi nhưng chẳng mấy chốc người ta thấy rằng nó cũng lộn xộn, mâu thuẫn. Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng Toán, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng Toán mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng Toán chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông ấy thuộc loại đại khó tính, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả! Câu chuyện này minh họa cho mâu thuẫn khi xét đến "Tập hợp của tất cả các tập hợp".

3. Minh hoạ nhờ ca dao, văn thơ.

- Chuyện vuông, tròn: Khi mô tả hình cầu đơn vị trong không gian Rⁿ theo các mêtric khác nhau, chúng ta có các hình cầu thông thường hay hình lập phương đều được gọi chung là hình cầu. Chúng nó là tròn hay vuông tuỳ theo ta chọn mêtric loại gì, nghĩa là tròn, vuông phụ thuộc vào chủ quan của con người. Cũng vậy, hình tròn đơn vị trong mặt phẳng R² với hệ toạ độ Đề các là tập {(x,y) | x² + y² £ 1} nhưng trong toạ độ cực thì nó chính là hình chữ nhật [0,2p] x [0,1]. Câu ca dao thích hợp cho các trường hợp này là:

“Thương nhau củ ấu cũng tròn,

Ghét nhau quả bồ hòn cũng méo”

vì chưng tròn hay méo phụ thuộc chủ quan, tình cảm hay hệ quy chiếu của chủ thể.

- Việc diễn tả tính phụ thuộc liên tục nghiệm của phương trình theo dữ kiện ban đầu (tức là sự ảnh hưởng, tác động của môi trường lên nghiệm của phương trình) có thể diễn tả bằng câu “Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng” hoặc “ Ở bầu thì tròn, ở ống thì dài”.

- Diễn tả 2 chuẩn (hoặc 2 mêtric) cho trên một tập không tương đương với nhau, ta có thể dùng thành ngữ “Gần nhà, xa cửa ngõ”, (trường hợp giữa hai nhà có một giòng sông chia đôi, khoảng cách một bên tính theo đường chim bay, một bên tính theo thời gian đi thực tế, chẳng hạn) hoặc bài thơ “Xa cách” của Xuân Diệu:

“ Có một dạo anh ngồi xa em quá

Anh bảo em ngồi xích lại gần hơn.

Em ngồi gần anh lại thấy xa hơn... "

Đó là do 2 mêtric hình học và mêtric tình cảm giữa các đối tượng "anh, em" không tương đương.

4. Minh hoạ khái niệm toán học nhờ những sự kiện tương tự trong thực tiễn.

- Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích. Một không gian khả ly nếu trong nó tồn tại một tập hữu hạn hay đếm được, trù mật khắp nơi. Tại sao người ta coi trọng những không gian khả ly? Một trong những lý do là vì chúng dễ xử lý và kiểm soát. Chỉ cần thu thập, kiểm soát những thông tin trên một tập khá nhỏ (tập hữu hạn hoặc đếm được các phần tử), trù mật trong không gian đã cho thì sẽ kiểm soát thu thập được thông tin trên toàn thể không gian. Có thể thấy ngay một ví dụ về một tập hợp trù mật ấy, chẳng hạn trong mỗi quốc gia, để nắm tình hình an ninh, Bộ Công an bố trí lực lượng công an khu vực như là một tập hợp trù mật trong một quốc gia vậy. Rõ ràng tình hình trật tự, trị an trong toàn quốc được phản ảnh bởi lực lượng công an khu vực này. Trong toán học, yêu cầu tập trù mật là "không quá đếm được", ngoài ý nghĩa tiết kiệm, còn có ý nghĩa hết sức quan trọng vì có thể lý luận, chứng minh hay xây dựng các đối tượng toán học liên quan bằng phép quy nạp hữu hạn được.

- Xa và gần: Phép toán lấy giới hạn là đặc trưng của ngành giải tích. Nói đến khái niệm giới hạn tức là phải biết cách diễn tả khái niệm “gần, xa” và đo đạc được độ “gần, xa” ấy. Cách tự nhiên là dùng khái niệm khoảng cách, mô phỏng khoảng cách thông thường, bằng cách giữ lại một số tính chất tiêu biểu để có thể nói chuyện xa chuyện gần giữa các đối tượng khá tổng quát. Tuy nhiên, có thể diễn tả sự gần hay xa nhau cách khác, chẳng hạn ta hãy khoanh vùng các đối tượng ấy bởi những “lân cận”. Ðiều này trong cuộc sống cũng thường gặp. Ví dụ, thầy X hỏi: “ Trò A và trò B ở có gần nhau hay không?” Trò A trả lời: Dạ, em ở cách B khoảng 100m. Trò B thì nói: Em ở cùng một xóm với trò A. Hai trò cũng nói lên một ý: Nhà của chúng khá gần nhau. Tuy nhiên mỗi trò diễn tả một cách. Trò A dùng ngôn ngữ “mêtric = khoảng cách”, trò B nói theo giọng điệu “tô pô”. Ta biết về mặt toán học, khái niệm tôpô tổng quát hơn “mêtric”.

- Nhưng tô pô là gì? Nói một cách nôm na, tô pô là môn học nghiên cứu những cái không thay đổi (bất biến) qua các phép biến dạng liên tục. Bạn hãy lấy một mảnh cao su, trên đó vẽ các đường thẳng, đường cong, hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, vẽ các điểm lung tung trên miếng cao su này. Sau đó bạn kéo dãn hay co lại, vặn vẹo miếng cao su (nhưng nhớ đừng làm rách vì chỉ được biến dạng liên tục) và xem thử cái gì bị thay đổi, cái gì không? Rõ ràng tròn, vuông, thẳng, cong trên miếng cao su không còn giữ nguyên qua bàn tay của bạn. Chỉ thấy những điểm nằm trong hình tròn chẳng hạn, dù bạn có kéo dãn miếng cao su kiểu gì thì các điểm này vẫn nằm trong cái đường cong kín tạo ra bởi đường tròn ban đầu .. ..

- Khái niệm hai mêtric tương đương tôpô. Ta thấy rằng mọi mêtric đã cho trên một tập luôn luôn tương đương với một mêtric bị chặn. Thật vậy, nếu d(x,y) là một mêtric cho trên X thì d*(x,y) =min (d(x,y), 1) là một mêtric bị chặn, tương đương với d(x,y). Việc chứng minh chặt chẽ theo logic toán học thì không có điều gì cần bàn cãi, tuy nhiên về mặt trực giác, người học có điều gì chưa yên tâm. Chúng ta có thể giải thích thêm là việc khảo sát giới hạn có ý nghĩa nếu các đối tượng ấy đủ gần với nhau, còn đã xa với một khoảng cách nào đó rồi thì xa thêm cũng chẳng quan trọng gì. Một ví dụ thực tế để minh họa như sau: Thời trước, việc tiếp xúc, liên lạc cá nhân trong nước với nước ngoài có những mức độ khó khăn khác nhau. Giả sử d(x,y) là con số biểu thị mức độ liên lạc tình cảm giữa anh x và chi y. Khi họ cùng ở trong nước (xem như là khá gần nhau) thì d(x,y) và d*(x,y) có thể xem như nhau, nhưng khi x ở Việt Nam, còn y ra nước ngoài, dù gần như ở Lào hay xa ở Mỹ thì lúc ấy giữa x và y cũng xem như là xa "vời vợi". Do vậy, ra khỏi một phạm vi nào đó, d(x,y) không đóng vai trò quan trọng nhiều trong việc khảo sát sự gần nhau vì đã xa thì đằng nào cũng xa rồi.

4. Cố tình lạm dụng từ ngữ, thuật ngữ.

Ta nhận thấy các khái niệm và ngôn ngữ toán học được xây dựng, trình bày rất rõ ràng, chính xác. Cho dù chuyển dịch sang bất cứ tiếng nói của nước nào, người ta không mắc phải những nhầm lẫn, mơ hồ. Việc đánh đồng ngôn ngữ toán học với ngôn ngữ bình thường nói chung là không nên, chẳng hạn khái niệm “đếm được” trong toán và ngoài toán thì khác nhau. Tuy nhiên trong một số ngữ cảnh nhất định, việc lạm dụng ngôn ngữ đời thường đưa vào toán hoặc từ toán ra đời thường có thể hợp lý và giúp người học thay đổi không khí học tập.

- Đưa ngôn ngữ đời thường vào toán: Khi nghiên cứu một cấu trúc toán học nào đó, thông thường phải lo việc “nội trị” trước rồi mới làm công tác “ngoại giao”. Chúng ta hãy nhớ lại đôi chút về cấu trúc toán học sơ khai, đơn giản nhất là tập hợp. Sau khi xử lý các vấn đề liên quan đến phần tử một tập và các phép toán về tập hợp trên các họ hàng gần gũi với nó, ta phái sứ bộ đi nơi khác để thăm dò, đó là thiết lập khái niệm ánh xạ từ tập này đến tập kia. Tương tự như vậy, khi định nghĩa nhóm, ta lập các đồng cấu nhóm, định nghĩa không gian mêtric ta xét đến ánh xạ liên tục..... Nói chung các mối quan hệ ngoại giao này phải đảm bảo được nghi thức và thông hiểu nhau, chẳng hạn phần tử trung tính, phần tử đối trong nhóm này phải ứng với phần tử trung tính, phần tử đối của nhóm kia; dãy trong không gian mêtric này hội tụ thì cũng chuyển thành dãy hội tụ trong không gian kia...

Để có được điều này, các ánh xạ phải “bảo toàn” cấu trúc của đối tượng toán học đang xét. Bây giờ trở lại với ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu sinh viên nắm được kỹ tư tưởng thì ngay tên gọi đã diễn ra đầy đủ nội dung:

· Ánh xạ: Quan hệ thông thường giữa hai tập.

· Tuyến tính: “Bảo toàn” cấu trúc không gian vectơ.

· Liên tục: “Bảo toàn” cấu trúc không gian mêtric.

Vậy ánh xạ tuyến tính liên tục A từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y là ánh xạ thoả mãn 3 điều nói trên.

Trong thực tế, việc này không khác với việc 2 quốc gia thiết lập quan hệ ngoại giao với nhau, những đối tác trong từng lãnh vực sẽ làm việc với nhau như giáo dục, kinh tế, quốc phòng, thương mại,…

- Thông thường mỗi toán thể khi xây dựng thì có khái niệm toán thể con đi kèm, ví dụ như nhóm thì có nhóm con, không gian định chuẩn thì có không gian định chuẩn con,v.v… Chúng xem như là những vật thể sinh sản vô tính. Tuy vậy, cũng có những toán thể được tạo ra từ những cặp tóan thể khác, chẳng hạn "nhóm các đồng cấu từ nhóm X vào nhóm Y", không gian L(X,Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian X vào không gian Y, v.v…. Minh họa: Để bắt đầu một định lý của Giải tích hàm: "Nếu Y là một không gian Banach, X là không gian định chuẩn tùy ý thì L(X,Y) là một không gian Banach", ta có thể dẫn nhập như sau: Từ 2 không gian định chuẩn bố là X, mẹ là Y sinh ra không gian L(X,Y), ta xem thử đứa con này có thừa hưởng gen di truyền nào của bố, mẹ không? Với phát biểu của định lý trên, ta thấy "đức tính Banach" được di truyền từ mẹ sang con, tính di truyền thể hiện rõ nét trong phần chứng minh định lý. Có lẽ chỉ cần dẫn nhập như vậy vừa giúp cho sinh viên đỡ chán vừa giúp họ nhớ lâu, đặc biệt có thể vận dụng "tính di truyền" này khi chứng minh định lý ấy.

- Đưa ngôn ngữ toán vào đời thường: Thực hiện nghịch đảo hoặc lấy liên hiệp của tích hai ánh xạ, toán tử được đưa vào trong cuộc sống như là làm ngược lại một quy trình nào đó. Từ công thức (gof)^-1 = f ^-1og^-1 hay (BoA)* = A*oB*, ta có thể minh họa chúng bằng những hoạt động quen thuộc, chẳng hạn như gof là động tác mang tất f rồi mang giày g để đi làm nhưng khi về nhà thực hiện cởi giày vớ thì làm theo chiều ngược lại (gof)^-1 = f ^-1og^-1 : cởi giày g^-1 trước mới cởi tất f^-1 ra. Tương tự, muốn ra khỏi nhà thì phải khóa cửa phòng rồi mới khóa cửa ngõ nhưng khi về thì mở của ngõ trước rồi mở của phòng sau.

- Nghịch đảo của tích nhiều ánh xạ (toán tử) thì bằng tích các nghịch đảo các ánh xạ nhưng theo thứ tự ngược lại: (fogohok)^-1= k ^-1 oh ^-1 g ^-1 of ^-1 , chỉ cần minh họa bằng động tác tháo ra và ráp lại súng như khi học quân sự thì sinh viên sẽ hiểu và nhớ ngay.

- Những cách nói “túi tiền của mình là tập rỗng”, “chuyện ấy chỉ là ép-si-lon, không đáng để ý”, “tình cảm của bọn chúng phức tạp lắm, như một phương trình vô nghiệm,…” có thể được sinh viên dùng nhưng ít mang nội hàm toán học.

5. Nhìn những sự kiện, vấn đề quen thuộc dưới góc độ khác.

Nhiều khái niệm, định nghĩa cho đối tượng tóan học hoặc các tính chất thật ra liên hệ đến quá trình thực hiện theo thứ tự 2 công đoạn khác nhau. Nếu hai công đoạn này có thể hoán vị được thì ta có khái niệm mới hoặc tính chất mới. Sau đây là một số ví dụ như vậy.

- Tính liên tục của hàm số, ánh xạ: Có thể diễn tả một cách đơn giản bằng công thức

lim f(x_n) = f(lim x­_n) khi x­­_n tiến về x₀, đó là hai quá trình tính giá trị của hàm và lấy giới hạn có thể hoán vị cho nhau.

- Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân hay đạo hàm của dãy hàm:

ò (lim f_n) dx = lim ò f_n dx

(lim f_n)' =lim f'_n

chẳng qua là sự hoán vị giữa phép toán lấy giới hạn với phép lấy tích phân (đạo hàm)

- Cho X, Y là các nhóm cộng, f: X -> Y là một ánh xạ. Ta nói f là một đồng cấu nhóm nếu với mọi a, b trong X, f(a+b) = f(a)+f(b). Vế trái thể hiện việc làm phép cộng xong mới tác động ánh xạ f vào, vế phải thì tác động ánh xạ f vào trước xong mới cộng lại. Hai quá trình ngược nhau nhưng vẫn như nhau, xác định bởi dấu =, cho khái niệm đồng cấu nhóm.

Có thể minh họa chuyện này bằng việc gọi cỗ đại pháo A là cơ động được nếu nó được lắp ráp hoàn chỉnh tại nhà máy rồi chuyển đến chiến trường hoặc có thể chuyển từng bộ phận rời đến chiến trường mới lắp ráp hoàn chỉnh sau. Cỗ đại pháo cơ động được sẽ rất tốt vì đáp ứng khả năng chiến đấu ở mọi địa hình.

6. Sự tồn tại, tính vô hạn trong toán học và trong cuộc sống.

- Tồn tại hay không tồn tại: Trong toán học hiện đại, có những đối tượng toán học tồn tại nhưng ta không thể xây dựng, kiến thiết cụ thể được. Phần lớn các chứng minh về sự tồn tại này là nhờ vào tiên đề chọn hay mệnh đề tương đương là Bổ đề Zorn. Các định lý như "Mọi không gian vectơ không tầm thường đều tồn tại một cơ sở", "Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên một không gian vectơ con đều tồn tại mở rộng, bảo toàn chuẩn trên không gian mẹ,…" đều phải sử dụng đến Bổ đề Zorn để chứng minh. Đầu thế kỷ XX nhiều nhà toán học chỉ chấp nhận những toán thể thực sự tồn tại nếu có thể kiến thiết được quá trình xây dựng hay tiếp cận chúng. Ngày nay hầu như mọi người làm toán đều thừa nhận tiên đề chọn và các hệ quả của nó.

Minh họa điều này trong thực tế, rằng có những cái biết ta biết nó tồn tại thực sự nhưng không thể chỉ ra được. Mệnh đề: Ở thành phố Hồ Chí Minh, tại mọi thời điểm (ví dụ 1 giây), luôn luôn tồn tại 2 người có số tóc trên đầu bằng nhau là một ví dụ.

Sử dụng nguyên lý Dirichlet, rằng có 4 chú thỏ nhốt trong 3 chuồng thì thế nào cũng có một chuồng có nhiều hơn một chú thỏ, để chứng minh mệnh đề trên thì không có gì khó khăn. Thật vậy, những thông tin có được là: điều tra dân số cho thấy thành phố có hơn bốn triệu dân. Tóc của mỗi người theo thống kê cho thấy là không quá không quá 3 triệu sợi.

Bây giờ ta lấy ra 3 triệu người. Nếu tồn tại 2 người nào đó có số tóc bằng nhau thì bài tóan giải xong. Nếu không có ai có số tóc trùng nhau thì giả sử người thứ nhất có 1 sợi tóc, người thứ 2 có 2 sợi tóc, v.v... cho đến người thứ 3 triệu có ba triệu sợi tóc. Tiếp theo ta mời người thứ 3.000.001 đến. Số tóc người này nằm trong khoảng từ 1 đến 3.000.000 nên chắc chắn sẽ trùng với số tóc của một người trong số 3 triệu người kể trên.

Lý luận thì như vậy, nhưng chắc là không tìm ra phương pháp để chỉ ra 2 người cụ thể nào.

- Hữu hạn hay vô hạn: Để chấm dứt bài này, người viết kể lại câu chuyện khách sạn Hilbert và xin được bịa ra một biến thể của nó. Câu chuyện như sau:

Một hôm có nhà doanh nghiệp tên Thông nằm mơ, được nhà toán học nổi tiếng người Đức tên là Hilbert mách bảo bí quyết kinh doanh bằng cách xây khách sạn để kiếm lời. Trong giấc mơ, nhà kinh doanh Thông nghe được bí kíp ấy thấy hay quá nên đã thuê người xây một khách sạn gồm các phòng đơn, được đánh số bởi 1,2,3,...., n,... Sau đó ông Thông, chủ khách sạn mạnh dạn tuyên bố rằng luôn luôn thoả mãn nhu cầu cho những ai cần chỗ ở.

Ngày nọ có một vị khách đường xa đến quầy tiếp tân để thuê phòng. Cô lễ tân nhìn vào sổ theo dõi thấy tất cả các phòng đều có người ở nên quay ra vị khách:

- Xin lỗi, ông cảm phiền đi nơi khác, khách sạn nay đã hết chỗ rồi.

- Các người làm ăn thế nào vậy? Ngoài bảng quảng cáo thì ghi rằng luôn đáp ứng đầy đủ chỗ ở cho ai có nhu cầu, giờ thì từ chối... Vị khách hét tướng lên.

Nghe tiếng ồn ào, vị chủ khách sạn chạy ra. Sau khi biết được câu chuyện, ông Thông quay qua nói với khách:

- Xin lỗi ông, do nhân viên chưa quen việc, sẽ có phòng ngay cho ông thôi mà.

Nói xong, ông thông liền ra lệnh cho nhân viên lễ tân tức tốc đến các phòng, làm các động tác như sau: yêu cầu vị khách đang ở phòng số 1 chuyển ngay sang phòng số 2, khách phòng số 2 thì chuyển sang phòng thứ ba,... nói chung khách đang ở phòng số thứ n thì chuyển sang phòng số thứ n+1,... Sau mấy phút sắp đặt, ông Thông ân cần mời vị khách mới đến vào phòng số 1 và thế là mọi chuyện tạm ổn.

Tất nhiên dù bị đánh động và phải chuyển đồ đạc nhưng rồi mọi người ai cũng có chỗ ở. Vì do số phòng nhiều vô hạn nên người đang ở phòng số n thì chỉ việc chuyển sang phòng mới số n+1. Ông Thông đang đắc chí thì bỗng nhiên bị kiến cắn phải thức dậy.

Hoá ra ông Thông đang nằm mơ, vì chuyện xây dựng khách sạn vô hạn phòng chỉ là lý thuyết, không tưởng, thực tế làm chi có. Tuy nhiên, ông Thông do già dặn trong cuộc đời, thấy mọi chuyện đều tương đối, ngay cả cuộc sống con người là hữu hạn. Thời trẻ, ông đã từng thề thốt với nhiều cô gái rằng, "Anh yêu em vô hạn", "Anh nhớ em vô cùng,..." nhưng thật ra ông chỉ "thương yêu" các cô gái ấy trong một giai đoạn hữu hạn nào đó. Từ đấy, ông suy nghĩ và ngộ ra rằng vô hạn trong cuộc đời thật ra là hữu hạn nhưng ở một mức độ "đủ lớn" nào đó là được. Với suy nghĩ như vậy, ông khai thác ý niệm vô hạn và xây một khách sạn "vô hạn" phòng như sau:

Ông thuê người xây 1 khách sạn có 6.000 phòng (khách sạn với số phòng chừng này thì không phải hiếm, đặc biệt các khách sạn phục vụ cho World Cup). Xong rồi ông quảng cáo rùm beng. Cũng như trên, khi khách đã đầy nhóc mà vẫn còn có người đến, ông giao cho tay quản lý khách sạn làm như trong mơ nghĩa là lôi ông khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2,.... Do tác phong lề mề, mỗi lần chuyển người từ phòng này sang phòng kia mất 10 phút, tính ra đến phòng cuối cùng là mất hết thảy 60.000 phút tức là 1000 giờ = hơn 41 ngày. Trong vòng 41 ngày ấy thông thường thế nào cũng có khách hết tiền nên phải trả phòng lại. Nếu không hên lắm thì mãi đến phòng cuối, nhét người khách phòng số 6000 vào phòng đã trả ấy. (Đó là một mánh chiến lược kinh doanh mạo hiểm! Tuy giữ được lời hứa là thoả mãn chỗ ở cho mọi người nhưng vị khách nào đã ở một lần thì tởn đến già, lần sau chắc là không dám ghé lại vì sẽ bị chuyển chỗ không biết lúc nào.)

Câu chuyện trên cho thấy đặc trưng của tập hợp vô hạn: Nếu thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập hợp vô hạn A thì lực lượng của A không thay đổi. Ngoài ra ta thấy rằng, trong thực tế không có cái gì là vô hạn cả theo ý nghĩa toán học. Chỉ cần số hữu hạn "đủ lớn" nào đó là có thể xem là vô hạn rồi. Vấn đề là xác định "đủ lớn" đó như thế nào.

Vấn đề giảng dạy toán học sao cho thú vị, hấp dẫn người học bằng cách liên hệ với thực tiễn cuộc sống sẽ còn là câu chuyện dài.