Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 9

Lời xin lỗi của một nhà toán học - Phần 9

Giới hạnThứ sáu, ngày 26 tháng mười hai năm 2008

Một thế cờ là một bài toán thuần túy, nhưng về một mặt nào đó nó là một bài toán "tầm thường". Bất kể có tinh xảo và rắc rối đến đâu, bất kể những bước đi là nguyên thủy và bất ngờ đến như thế nào, nó vẫn thiếu một yếu tố quan trọng. Các thế cờ "không quan trọng". Toán học thuần túy vừa phải đòi hỏi nhiều suy nghĩ vừa phải đẹp - hay có thể nói là "quan trọng" nếu anh muốn, nhưng từ đó rất mơ hồ ở đây, và "đòi hỏi nhiều suy nghĩ" diễn tả nhiều hơn điều tôi muốn nói.

Tôi không nghĩ về những lợi ích "thực tế" của toán học bây giờ. Tôi phải quay lại quan điểm này sau: hiện tại tôi sẽ chỉ nói rằng nếu một thế cờ, theo nghĩa nguyên sơ nhất, là "vô dụng", thì điều đó cũng đúng cho hầu hết những cái đẹp đẽ nhất của toán học; vì chỉ một phần rất nhỏ của toán học là có ý nghĩa thực tế, và cái phần rất nhỏ đó có thể hoàn toàn coi như là vô nghĩa. Sự "quan trọng" của một định lý toán học không nằm ở trong những kết quả thực tế, điều mà nó thường không đáng kể, mà là ở tầm quan trọng của những ý tưởng toán học nó có thể kết nối. Chúng ta có thể nói một cách đại khái là một định lý toán học là "đáng chú ý" nếu nó có thể được liên kết, một cách rất tự nhiên và đẹp đẽ, với một khối lượng lớn các ý tưởng toán học khác. Do đó một định lý đáng chú ý, định lý mà liên hệ được với các ý tưởng lớn, thường có nhiều khả năng dẫn đến những bước đột phá quan trọng trong bản thân toán học và thậm chí cả trong những ngành khoa học khác. Không có một thế cờ nào gây ảnh hưởng đến sự phát triển nói chung của những ý tưởng khoa học; trong khi đó Pythagoras, Newton, Einstein đã thay đổi cả hướng phát triển của nó.

Sự quan trọng của toán học tất nhiên không nằm trong kết quả của nó, điều đó chỉ là bằng chứng của tầm quan trọng. Shakespeare có một ảnh hưởng to lớn trong sự phát triển của nền văn học Anh, Otway không sau một ai khác, nhưng đó không phải là lý do tại sao Shakespeare là một nhà thơ lớn hơn. Ông giỏi hơn là vì ông viết những bài thơ kiệt tác hơn. Sự kém hơn của một thế cờ, cũng như thơ của Otway, không phải trong kết quả của nó mà là trong nội dung.

Có một điểm nữa mà tôi sẽ bỏ qua rất nhanh, không phải vì nó không thú vị mà bởi vì nó rất khó, và vì tôi không có một tư cách nào để thảo luận một cách nghiêm túc về vấn đề thẩm mỹ. Vẻ đẹp của một định lý toán học phụ thuộc rất nhiều vào tầm quan trọng của nó, như ngay cả trong thơ ca, vẻ đẹp của một vần thơ có thể tùy thuộc vào những hình ảnh, ý tưởng mà nó chứa đựng. Tôi đã trích dẫn hai câu thơ của Shakespeare như là một ví dụ về một kiểu mẫu đẹp; nhưng
Anh ngủ ngon sau những cơn sốt dài của cuộc sống

Có vẻ như còn đẹp hơn. Kiểu mẫu cũng hay như vậy, nhưng trong ví dụ này các hình ảnh của nó có ý nghĩa và nghe lọt tai hơn, do đó tình cảm của chúng ta được khuấy động sâu hơn. Ý tưởng có ảnh hưởng đến kiểu mẫu, thậm chí cả trong thơ ca, và một cách tự nhiên còn nhiều hơn thế trong toán học; nhưng tôi sẽ không cố gắng tranh cãi vấn đề một cách chặt chẽ hơn.


Bây giờ rõ ràng là, nếu như chúng ta muốn đi xa hơn nữa, tôi phải đưa ra những ví dụ cụ thể của các định lý toán học "thực thụ", các định lý mà tất cả các nhà toán học sẽ đều phải thừa nhận là hạng nhất. Và ở đây tôi thấy khá khó khăn do sự hạn chế của những gì tôi đang viết. Về một mặt, các ví dụ của tôi phải rất đơn giản, và hiểu được với một người đọc thậm chí không hề có kiến thức chuyên môn về toán; không có một lời giải thích nào được yêu cầu trước; và một người đọc bất kỳ phải có thể theo dõi lời giải cũng như đề bài. Những điều kiện này đã loại bỏ rất nhiều những định lý đẹp nhất của lý thuyết số như định lý "hai số chính phương" của Fermat hay luật nghịch đảo tương hỗ của Gauss. Mặt khác, các ví dụ của tôi phải được đưa ra từ toán học "thực thụ", thứ toán học của những người làm toán chuyên nghiệp; và điều kiện này loại trừ những định lý tương đối khá dễ dàng và dễ hiểu nhưng liên quan đến logic và triết học.Tôi khó có thể làm gì tốt hơn là quay về với những người Hy Lạp. Tôi sẽ phát biểu và chứng minh hai định lý nổi tiếng của toán học Hy Lạp. Đó là các định lý "đơn giản", đơn giản ngay cả trong ý tưởng và cách lập luận, nhưng không hề có nghi ngờ nào rằng chúng là các định lý đẹp. Mỗi định lý đều còn mới mẻ và quan trọng như khi chúng mới được tìm ra - hai nghìn năm vẫn chưa viết nên một nếp nhăn nào trên chúng. Và cuối cùng, cả hai mệnh đề và lời giải đều có thể hiểu được trong vòng một giờ bởi bất kỳ một người đọc thông minh nào, bất kể trang bị toán học của anh ta có ít đến đâu.

I. Định lý đầu tiên là chứng minh của Euclid(*) về tồn tại vô hạn số nguyên tố.

Các số nguyên tố là các số
(A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
mà không thể viết thành tích của các thừa số (**) nhỏ hơn. Do đó 37 và 317 là nguyên tố. Số nguyên tố là nền tảng tạo thành tất cả các số bởi phép nhân: ví dụ 666 = 2.3.3.37. Mọi số không nguyên tố đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố (tất nhiên thường là nhiều hơn một). Chúng ta phải chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố, có nghĩa là dãy số (A) không bao giờ kết thúc.

Chúng ta hãy giả sử rằng (A) sẽ kết thúc, và
2, 3, 5, ..., P
là toàn bộ dãy số (do đó P là số nguyên tố lớn nhất); và ta, với giả thuyết này, hãy xem xét số Q xác định bởi công thức
Q = (2.3.5...P) + 1.

Đơn giản thấy rằng Q không chia hết cho 2, 3, 5, ..., P; bởi vì nó đều cho số dư là 1 khi chia cho bất cứ số nào trong dãy. Nhưng nếu nó không phải là nguyên tố, nó phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, và do vậy có một số nguyên tố (cũng có thể là chính Q) lớn hơn các số trong dãy. Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng không có số nguyên tố nào lớn hơn P; và do vậy giả thuyết này là sai.

Chứng minh này dùng phương pháp phản chứng, một phương pháp mà Euclid rất thích và cũng là một trong những vũ khí đẹp nhất của toán học(***). Nó là một nước đi đẹp hơn nhiều so với bất cứ một nước cờ thí nào: một người chơi cờ có thể chịu hy sinh, thí một quân tốt hay một quân cờ, nhưng một nhà toán học thì thí cả ván cờ.

(*)Elements IX 20. Nguồn gốc thực sự của rất nhiều định lý trong cuốn Elements khá mù mịt, nhưng dường như không có lý do nào để cho rằng định lý này không phải của Euclid.
(**) Có những lý do kỹ thuật cho việc không tính 1 là một số nguyên tố.
(***) Lời giải có thể được sắp xếp sao cho không cần dùng đến phương pháp phản chứng, và các nhà logic học của một số trường phái thường thích như vậy.


Tài liệu
G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge University Press (1940). 153 trang. ISBN 0-521-42706-1. Download here.
(Theo ngocson52, leoteo(Bùi Mạnh Hùng, SV ĐH Bristol, Anh), madness trên diendantoanhoc.net) Edit