Những “mối thâm thù” trong khoa học

Những “mối thâm thù” trong khoa học

Giới hạnThứ tư, ngày 19 tháng một năm 2011

Có lẽ bạn khó có thể tưởng tượng ra cảnh các nhà khoa học rất thông thái với cặp kính cận và bộ áo trắng mà lại cãi nhau om sòm trong phòng thí nghiệm. Những mối hiềm khích trong giới khoa học rất sâu sắc và dai dẳng. Đôi khi, để tranh đấu và bảo vệ cho quan điểm của mình, các nhà khoa học phải chịu hy sinh cả tính mạng.

Vụ tranh cãi lớn giữa Shapley và Curtis

Vụ tranh cãi giữa 2 nhà thiên văn Shapley và Curtis “ầm ĩ” đến nối giới thiên văn dùng cụm từ “Vụ tranh cãi lớn” khi nhắc đến nó. Ngày 26/04/1920, Shapley đã tham gia “Cuộc tranh cãi lớn” với Heber D. Curtis về quy mô của vũ trụ. Shapley đã phản đối luận điểm Mặt Trời nằm ở trung tâm Ngân Hà, đồng thời cho rằng, các cụm sao hình cầu và những “tinh vân xoắn ốc” đều thuộc Ngân Hà. Shapley đã đúng khi khẳng định Mặt Trời không nằm ở trung tâm Ngân Hà. Tuy nhiên, do các số liệu về kích thước thu được lớn hơn thực tế nên Shapley đã sai khi kết luận những “tinh vân xoắn ốc” cũng nằm trong Ngân Hà chứ chúng không phải là những hệ sao độc lập. Curtis đã đúng khi kết luận “tinh vân Andromeda” (chính xác là thiên hà Andromeda) là một hệ sao độc lập nằm ngoài Ngân Hà. Cuối năm 1924, Edwin Hubble đã chứng minh luận điểm trên của Curtis.

Tranh cãi nảy lửa Newton và Leibniz

Isaac Newton không phải là một người dễ chịu. Những mối quan hệ của ông với các học giả khác rất tai tiếng; phần lớn giai đoạn sau của cuộc đời ông gắn liền với những vụ tranh cãi gay gắt.

Một tranh chấp khá “tai tiếng” đã xảy ra giữa ông với nhà triết học Đức Gottfried Leibniz vào năm 1711. Cả Leibniz lẫn Newton đã phát triển (độc lập với nhau) ngành toán học Vi tích phân (Calculus). Sau đó đã nảy sinh cuộc tranh cãi om sòm chung quanh việc ai là người đầu tiên phát triển ngành toán học này. Khi cuộc cãi vã có quy mô lớn, Leibniz mắc sai lầm lớn là kêu gọi Hội Hoàng gia giải quyết; Newton vốn là Chủ tịch Hội hoàng gia, đã chỉ định một hội đồng “không thiên vị” để tra xét vấn đề. Hội đồng này “tình cờ” lại gồm toàn những người bạn của Newton. Năm 1711, John Keill, viết trong tạp chí của Hội Hoàng gia đã cáo buộc Leibniz ăn cắp vi tích phân từ Newton. Các nhà viết sử toán học từ 1900 trở đi đã thừa nhận Leibniz vô tội, và chỉ ra những khác biệt quan trọng giữa hai phiên bản vi tích phân của Leibniz và Newton.

Margaret Mead và Derek Freeman

Trong một cuộc tranh luận, có lẽ bạn sẽ dễ dàng chiếm ưu thế hơn nếu đối phương đã “khuất bóng”. Đây là trường hợp cuộc tranh luận giữa Margaret Mead và Derek Freeman. Freeman – một nhà nhân chủng học người New Zealand – bất đồng với thuyết “Định luận văn hóa” của Margaret Mead – một nhà nhân chủng học văn hóa nổi tiếng của Mỹ. Nhưng Freeman chỉ công khai chỉ trích thuyết này 5 năm sau khi M. Mead đã mất (1983). Thuyết định luận văn hóa của M. Mead cho rằng quá trình phát triển tâm lý ở tuổi thành niên bị chi phối bởi yếu tố văn hóa của từng vùng; trong khi đó, Freeman – một người ủng hộ thuyết “định luận sinh vật” với quan điểm cho rằng, chính các yếu tố liên quan đến sinh học mới có vai trò quyết định. Vấn đề đến nay vẫn chưa thật sự ngã ngũ, nhưng những đóng góp của M. Mead là rất lớn đối với trường phái Văn hóa và nhân cách, đối với việc khẳng định vai trò đặc biệt của văn hóa trong sự hình thành và phát triển tâm lý, nhân cách của con người.

Cuộc chiến lỗ đen giữa Hawking và Susskind

Hawking và Susskind, hai “gã khổng lồ” trong ngành vật lý lý thuyết, “chiến đấu” một mất một còn về việc liệu thông tin bị nuốt vào các lỗ đen có bị mất đi mãi mãi một khi các lỗ đen này bốc hơi hay không.Năm 1983, Hawking nêu lên giả thuyết rằng “thông tin bị sẽ bị mất đi trong sự bốc hơi của lỗ đen”. Với Susskind, một lý thuyết gia định lượng, thì điều này là không đúng đắn bởi nguyên lý trung tâm của ngành định lượng là thông tin sẽ được bảo toàn; nó không bao giờ có thể bị biến thành hư không. Nếu Hawking đúng, các nền móng của ngành định lượng đều bị hủy diệt. Cuộc chiến dai dẳng kéo dài hơn 20 năm, cuối cùng, Hawking thú nhận mình thua cuộc sau các công trình nghiên cứu về Nguyên lý toàn ảnh (holography).

Cope và Marsh trong “Cuộc chiến của những khúc xương”

Edward Drinker Cope (1840 – 1897) và Othniel Charles Marsh (1831 – 1899) là 2 nhà cổ sinh vật học nổi tiếng ở thế kỷ 19. Trong cuộc đua săn tìm những bộ xương khủng long hóa thạch, 2 ông cũng mất nhiều thời gian để gây chiến với nhau, đến nỗi người đương thời gọi những bất đồng giữa 2 ông là “Cuộc chiến của những khúc xương”.

Đã có lúc Marsh thậm chí còn hối lộ những người trong đoàn khai quật của Cope để họ qua mặt ông chủ của mình mà chuyển cho Marsh những hóa thạch mà nhóm này tìm được.

Hai ông cũng thường xuyên công khai chỉ trích những thành quả nghiên cứu của đối phương bất cứ khi nào có cơ hội.

Cả hai người, không ai chịu kém ai, đều thực hiện những chuyến săn lùng và khai quật hóa thạch khủng long xuyên suốt Bắc Mỹ. Có lẽ nhờ vào tính cạnh tranh gay gắt của cuộc chiến mà họ đã làm việc không mệt mỏi, và đã phát hiện được hóa thạch của 130 loài khủng long khác nhau.

Edison và Tesla trong “Cuộc chiến giữa các dòng điện”

Sự bất hòa giữa Edison và Tesla rất nổi tiếng vào thời đó, được biết đến như là “Cuộc chiến của các dòng điện”. Thời đó, Edison có hơn 100 trạm phát điện ở Mỹ, cung cấp điện một chiều cho người tiêu dùng. Để khắc phục tình trạng hao hụt điện năng trong quá trình truyền tải, Nikola Tesla, lúc đó là nhân viên của Edison, đã đề xuất ý tưởng sử dụng dòng điện xoay chiều nhưng Edison không tán thành. Để bác bỏ ý tưởng của Tesla, Edison khẳng định rằng dòng điện xoay chiều có khả năng gây chết người.

Năm 1903, một con voi trong rạp xiếc, tên là Topsy, bỗng nổi điên và giết chết 3 người. Nó lập tức bị coi như một hiểm hoạ cần phải loại trừ. Edison nhìn thấy cơ hội để chứng minh sự nguy hiểm của dòng điện xoay chiều, thế là ông đề xuất việc giết con voi này bằng dòng điện xoay chiều. Topsy được cho ăn cà rốt tẩm xyanua, rồi bị giết chết bằng dòng điện 6.000 vôn.

Tuy nhiên sau đó, các ưu điểm vượt trội của dòng điện xoay chiều vẫn chiến thắng; máy phát điện, mạng lưới truyền tải điện (xoay chiều) và động cơ xoay chiều mà chúng ta dùng ngày nay là thành quả nghiên cứu miệt mài của Tesla.

“Mối thù” sâu sắc giữa Galileo và nhà thờ

Sự bênh vực của Galileo dành cho Thuyết Nhật tâm của Copernicus đã gây ra những tranh cãi nảy lửa trong đời ông. Vào thời đó, quan điểm Địa tâm đã thống trị từ thời Aristotle. Khi Galileo trình bày thuyết Nhật tâm đã khiến giáo hội Công giáo Roma tức giận và cấm tuyên truyền vì nó chưa được chứng minh, theo kinh nghiệm ở thời điểm ấy và trái ngược với ý nghĩa của Kinh thánh. Vì công trình này, ông bị kết án tù; phán quyết này sau đó được đổi thành quản thúc tại gia; kèm theo đó là việc cấm xuất bản mọi tác phẩm của ông, gồm cả những tác phẩm ông có thể viết trong tương lai.

Tháng 3/2008, Vatican đã phục hồi uy tín cho Galileo thông qua việc dựng một bức tượng của ông bên trong những bức tường thành Vatican.

Theo khoahoc.com.vn Edit

lịch vui với toán học và ngô bảo châu

Công ty Cổ phần Công nghệ Tinh Vân với sự đóng góp của GS Ngô Bảo Châu, họa sĩ Lê Tâm, thiết kế Đinh Anh Quân đã phát hành lịch Tân Mão 2011 gồm 12 tranh với chủ đề Bổ Đề Cơ Bản…

Tháng 1: Niềm vui mang tên Ngô Bảo Châu

Tháng tám mùa thu năm Canh Dần, tức 2010 dương lịch, Việt Nam hân hoan đón nhận tin GS. Ngô Bảo Châu đoạt giải thưởng Fields, giải thưởng danh giá tương đương với giải Nobel cho Toán học. GS. Ngô đã chứng minh sáng sủa “Bổ đề Cơ bản”, là bí kíp vô cùng quan trọng trong bản tổng phổ Langlands – Chương trình kết nối mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. “Bổ đề Cơ bản” tuy chỉ là một vấn đề kỹ thuật, nhưng nó đã gây lúng túng cho nhiều cao thủ hơn 30 năm qua. Thành tựu đột phá của Ngô giúp các nhà toán học tiến lên trong việc chinh phục cả “Chương trình Langlands”.

Tháng 2: Lý thuyết số

Lepold Kronecker (1823-1891)

Để hiểu “Bổ đề Cơ bản” ta cần có khái niệm về lý thuyết số. Số là cách thức con người nguyên thủy ghi lại số lượng các đối tượng như súc vật nuôi, bạn bè, khách hàng… Năm 700 TCN người Babylon đã phát minh ra số 0, sau được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực tài chính. Nhà toán học Đức Kronecker từng nói: “Chúa trời đã tạo ra các số nguyên, phần việc còn lại là của chúng sinh”. Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat được coi là sư tổ của lý thuyết Số hiện đại đồng thời là tác giả “Định lý Fermat lớn”, định lý đã làm chấn động toán lâm và điên đầu vô số hảo thủ trong gần bốn thế kỷ.

Tháng 3: Lý Thuyết Nhóm

Evariste Galois (1811-1832)
Lý thuyết Nhóm là ngành nghiên cứu về các cấu trúc đại số có tính đối xứng. Lý thuyết Nhóm đặc biệt được ứng dụng rộng rãi trong vật lý hiện đại, được xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học mãi mãi tuổi 21 người Pháp Évariste Galois vào năm 1830. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc Nhóm. Đặc biệt quan trọng là các nhóm Lie, được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi trơn tru. GS. Ngô đã chứng minh “Bổ đề Cơ bản” cho trường hợp riêng với nhóm Unita vào năm 2004 và tổng quát với toàn bộ nhóm Lie năm 2008.

Tháng 4: Định lí Fermat lớnPierre de Fermat (1601-1665)

Năm 1637 đại sư tổ môn phái toán học Pháp là Pierre de Fermat đã viết vào lề cuốn “Số học” của Diophante thời Hy Lạp cổ đại mấy dòng chữ sau: “Phương trình xⁿ+ yⁿ=zⁿ không có nghiệm nguyên dương khi n lớn hơn 2. Tại hạ đã tìm được cách chứng minh tuyệt vời nhưng đáng tiếc lề sách không đủ rộng để ghi ra đây”. Điều khẳng định bí ẩn trên, sau được gọi là “Định lý Fermat lớn” đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại. “Định lý Fermat lớn” chỉ được chứng minh triệt để vào năm 1995 bởi nhà toán học Anh A. Wiles.

Tháng 5: Giải thuyết Taniyama – Shimura

Hai nhà toán học Nhật Bản Y. Taniyama và G. Shimura
Giữa thế kỷ 20, hai cao nhân Nhật Bản là Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài là mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu đúng, giả thuyết này sẽ giải quyết nhiều bài toán số học cho đến any chưa giải quyết được bằng cách tiếp cận qua thế giới hình học. Mùa thu năm 1984 nhà toán học Gerhard Frey đã kết luận rằng nếu chứng minh được “Giả thuyết Taniyama – Shimura” thì cũng có nghĩa là chứng minh được “Định lý Fermat lớn”, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.


Tháng 6: Chương trình Langlands
Robert Phelan Langlands (1936)

Trong những năm 60, nhà toán học Canada R. Langlands đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết đó, cấu thành “Chương trình Langlands”.
Ngô Bảo Châu nhận xét: “Các giả thuyết Langlands là động lực cho sự phát triển của toán học lý thuyết trong vòng bốn chục năm trở lại đây. Rất nhiều bài toán tưởng như là những viên gạch riêng lẻ, nay được các giả thuyết của Langlands sắp xếp lại thành một công trình kiến trúc vĩ đại…”


Tháng 8: Công trình của Wiles
Andrew John Wiles (1953)
Hứng thú với “Giả thuyết Tayniyama – Shimura” và “Định lý Fermat lớn”, nhà toán học Anh A. Wiles đã âm thầm nhập thất, đóng cửa luyện công trong bảy năm liền để tìm kiếm lời giải cho bài toán xuyên thế kỷ. Dù trong quá trình khổ luyện có lúc tẩu hỏa nhập ma, nhưng với bản lĩnh cao cường năm 1995, A. Wiles đã tái xuất giang hồ và công bố cách chứng minh “Định lý Fermat lớn”, chấm dứt 358 năm căng thẳng của toán giới. Nhưng kết quả có ý nghĩa lớn hơn nhiều là “Giả thuyết Tayniama – Shimura” được chứng minh đồng nghĩa nền tảng “Chương trình Langlands” là vững chắc.
Tháng 9: Công thức vết Arthur – Selberg
James Arthur (1944)
Một trong những công cụ được coi là bảo bối phát triển từ “Chương trình Langlands” là “Công thức vết Arthur – Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng các phương pháp hình học để tính toán những bài toán số học. Nhưng chính Langlands đã gặp một trở ngại lớn khi sử dụng bảo bối này bởi xuất hiện những tích phân quỹ đạo phức tạp. Theo Langlands các tích phân này bằng nhau nhưng ông không thể chứng minh được. Ông gọi nó là “Bổ đề Cơ bản”


“Bổ đề Cơ bản” gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của “Chương trình Langlands”, khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều cao thủ toán học hàng đầu – kể cả chính Langlands – đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại. GS. Ngô viết: “Bổ đề Cơ bản không hẳn là bổ đề vì ông Langlands chỉ chứng minh nó trong một trường hợp đặc biệt, còn trường hợp tổng quát thì được nêu như một giả thuyết. Còn “cơ bản” là vì cả một góc lớn của chương trình kể trên sẽ sụp đổ nếu nó không đúng”.

Tháng 10: Trường hợp các nhím Unita

Sư phụ G. Laumon (1952)

Do vai trò đặc biệt quan trọng của “Bổ đề Cơ bản”, nhiều nhà toán học đã nỗ lực và chứng minh được một số trường hợp riêng. Năm 1979, Labesse và Langlands chứng minh được cho nhóm SL (2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Đến 2004, GS. Ngô Bảo Châu và sư phụ là GS. Laumon đã song kiếm hợp bích chứng minh cho toàn bộ nhóm unita U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004.

Tháng 11: Giải Fields 2010

Công trình được Time bình chọn là một trong 10 khám phá năm 2009. Đầu năm 2008, GS. Ngô Bảo Châu công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho “Bổ đề Cơ bản” trong trường hợp tổng quát cho các đại số Lie. Lúc đầu công trình dài 150 trang. Sau khi lược bỏ bớt những điều không phục vụ trực tiếp cho chứng minh “Bổ đề Cơ bản” và diễn giải chi tiết hơn, công trình dài thành 188 trang. Dù ý tưởng chứng minh rất rành rọt, các nhà toán học hàng đầu vẫn phải mất hơn 1 năm để kiểm chứng nó. Năm 2009, công trình được tạp chí Time bình chọn là một trong 10 khám phá khoa học quan trọng nhất của năm.


Tháng 12: Sự thống nhất lớn

Công trình của GS. Ngô Bảo Châu đã đặt thêm những viên gạch vững chắc cho nền móng của “Chương trình Langlands”, thống nhất mọi lĩnh vực của toán học hiện đại.
Trong vật lý hiện đại các nhà vật lý cũng đang nỗ lực cho một lý thuyết thống nhất lớn ọi là M-Theory với chữ M có gốc từ chữ Mother (mẹ). Và trong cuộc sống hằng ngày, thật kỳ diệu đôi khi chúng ta cũng cảm thấy mình là một cấu thành không thể tách rời của một vũ trụ thống nhất, vũ trụ của tính nhân bản và tình yêu thương…

VnMath.Com (Nguồn: Tia Sáng)

Cách đọc sách của các nhà Toán học nổi tiếng

Cách đọc sách của các nhà Toán học nổi tiếng

Giới hạnThứ năm, ngày 17 tháng ba năm 2011

Nhà văn Pháp Dôla nói: “Toàn bộ ý nghĩa cuộc sống là ở chỗ luôn luôn tìm tòi những cái chưa biết, ở chỗ không ngừng làm tăng hơn kiến thức”. Để có kiến thức thì phải đọc sách, biết được phương pháp đọc sách của các nhà toán học sẽ giúp bạn được nhiều điều bổ ích

Biến sách “dày” thành sách “mỏng”

Hoa La Canh là nhà toán học khá nổi tiếng của Trung Quốc, nhiều tác phẩm toán học của ông được xếp vào loại kinh điển. Khi bàn về chuyện đọc sách ông đã từng nói: “Một cuốn sách, khi chưa đọc, bạn cảm thấy sao mà dày cộm thế” “nhưng một khi đã thấu triệt thật sự nội dung của nó, nắm chắc được những quan điểm quan trọng của nó, bạn sẽ cảm thấy cuốn sách trở nên mỏng teng. Càng thấu triệt, cảng cảm thấy cuốn sách mỏng”. Làm thế nào để đọc quyển sách “dày” thành quyển sách “mỏng”? Phương pháp của Hoa La Canh là: “nghiền ngẫm thật kĩ từng vấn đề trong sách, sau khi thật sự đã hiểu xâu chuỗi toàn bộ nội dung cuốn sách để lí giải hiểu sâu thêm, từ đó, làm rõ cái gì là vấn đề chủ yếu của cuốn sách, cùng với mối quan hệ giữa những vấn đề đó. Như vậy chúng ta nắm được sợi dây cơ bản chi phối toàn bộ cuốn sách và quán triệt được thực chất tinh thần của cuốn sách”.

Nhảy qua chỗ “khó”

Nhà toán học Tiền Vĩ Trường thường dùng cách “nhảy qua chỗ khó” khi đọc sách. Ông nói: Trong quá trình đọc sách học tập khi gặp những vấn đề nhỏ, không phải là vấn đề mấu chốt, tại sao chúng ta không vòng qua, không nhảy qua? Giống như đi đường gặp những vật chướng ngại như hòn đá, rãnh nước… Có người gặp rãnh nước, không lấp không được; gặp hòn đá không thể không vần chuyển đi chỗ khác, như vậy là đã đem thời gian và tinh lực tan vào trong những vấn đề nhỏ. Thực ra chỉ cần vòng qua hoặc nhảy qua là được. Khi học tập phải học tập những vấn đề mấu chốt, phải sãi bước lên trước, khi đã đi được đoạn đường dài, ngoái đầu nhìn lại, chẵng còn thấy vật chướng ngại nữa. Thì ra, những chướng ngại đó chỉ là những vấn đề nhỏ. Nếu bạn bị quẩn quanh với những vấn đề nhỏ đó, sẽ chẳng đạt được gì trong cuộc đời.

Đặt vững cơ sở.

Trần Cảnh Nhuận là nhá toán học nổi tiếng Trung Quốc. Để đoạt được viên ngọc trên vương miện toán học - chứng minh bài toán Gôn-bách, ông đã phải lao động sáng tạo vất vả. Khi hỏi ông về bí quyết học toán, ông trả lời trong bốn chữ: đặt vững cơ sở. Ông chỉ rõ: những tri thức toán học học được ở bậc tiểu học và trung học là những tri thức ABC, rất cơ bản, chúng ta thường xuyên phải củng cố, không được học đại số mà quên mất 4 phép tính, học được vi tích phân thì quên tam giác lượng hoặc hình học. Được như vậy, chúng ta thường dễ tìm ra lời giải ngắn gọn nhất cho nhiều vấn đề gặp phải. Sau khi luận văn chứng minh giả thuyết Gôn-bách là đúng ,nhiều người viết thư cho ông. Trong thư trả lời, Trần Cảnh Nhuận viết :"Mấy năm nay ,tôi nhận được hàng vạn bức thư, có những học sinh, ngay những khái niệm toán học cơ bản nhất còn chưa nắm vững đã vội đi chứng minh bài toán của Gôn-bách. "Học toán mà muốn 1 bước lên trời thì khó mà thực hiện được. Trước tiên cần phải học thuộc, nhớ kỹ những cái cơ bản nhất. Bình thường phải học thưộc,lúc nào cũng có thể dùng được. Như vậy mới đạt được hiệu quả tốt.


Trước chậm sau nhanh

Giáo sư Vương Hạnh Khôn, nguyên hiệu trưởng trường Đại học Sư phạm Bắc Kinh, Trung Quốc, từng có thói quen đọc sách trước chậm sau nhanh. Tại sao phải làm như vậy? Lí do của giáo sư là: một vài chương ở đầu cuốn sách thường là then chốt của cả cuốn sách, bởi vì, mỗi bộ môn khoa học đều có đối tượng nghiên cứu, thuật ngữ và kí hiệu chuyên môn riêng biệt. Ví dụ, hình học phẳng là nghiên cứu tính chất của hình tam giác, hình tròn và các hình khác; đại số sơ cấp chủ yếu là nghiên cứu các phép toán đại số. Do đối tượng nghiên cứu của mỗi cuốn sách khác nhau, nên khi xem hết quyển này, xem sang quyển khác, khi bắt đầu, thường là chưa thích nghi. Nếu như không bình tâm nhẫn nại đọc hiểu kĩ một hai chương đầu của cuốn sách, thì không thể làm vỡ được mạch suy nghĩ cơ bản của cuốn sách, nên về sau đọc sẽ rất khó khăn. Để bảo đảm “ăn hết” nội dung cuốn sách, giáo sư thường áp dụng các biện pháp như: vừa đọc, vừa ghi chép làm bài tập. Chi khi ghi chép làm bài tập mới thật sự suy nghĩ, lật đi lật lại vấn đề. Cái kiểu cưỡi ngựa xem hoa là không thể được. Với cách đọc như vậy, càng đọc càng nhanh, càng thấy hứng thú, nắm vững nội dung của toàn bộ cuốn sách.

VnMath.Com (Theo "Kho vàng tri thức khoa học cho mọi người")

cach doc sach cua cac nha toan hoc noi tieng

Chờ đợi ... bài toán cuối cùng

Chờ đợi ... bài toán cuối cùng

Giới hạnThứ hai, ngày 01 tháng mười một năm 2010

Mỗi câu chuyện đều có một bắt đầu, ngày xửa ngày xưa ...

Lịch sử là những câu chuyện, nơi quá khứ được kể lại, trong ngôn ngữ xoắn xít của huyễn hoặc, đồn đoán và huyền thoại, mà mỗi bắt đầu sẽ lại là 'ngày xửa ngày xưa', khi cậu bé học sinh phổ thông 10 tuổi tình cờ bước vào phòng đọc của thư viện thành phố, nơi cậu tìm thấy ý nghĩa cuộc đời mình. Cậu bé đó là Andrew Wiles, và bài toán cuối cùng của cậu chính là Định lý cuối cùng của Fermat (Fermat's enigma).

Đó là lúc câu chuyện bắt đầu.

***Có sự khác biệt cơ bản giữa làm toán và học toán; cũng như vậy đối với cứu cánh của tư duy khoa học và tư duy toán học. Trong khi tư duy khoa học hiện đại ngày càng hướng sang lĩnh vực của công nghệ và chú mục nhiều hơn đến ích lợi thực tế từ khoa học ứng dụng, mục đích toán học, và tư duy toán học, vẫn không hề thay đổi, xuyên suốt thời gian. Đó là đặc trưng cơ bản và cũng là vẻ đẹp kiêu hãnh của toán học: chứng minh tuyệt đối. Nghĩa là, mỗi chứng minh đúng trong toán học phải là đúng, và luôn đúng, trong mọi trường hợp; chứng minh là chưa hoàn tất khi tồn tại dù chỉ một trường hợp chưa được chứng minh. Tức, một điều là đúng khi và chỉ khi đã được chứng minh là đúng, với vô hạn trường hợp khác. Dẫu vậy, hành trình hướng đến cái tuyệt đối trong vô hạn của chứng minh toán học luôn đậm màu sắc của tư biện, và phần nhiều khởi đầu từ những cực đoan.

Ngày 08/08/1900, trong bản báo cáo mang tính lịch sử đọc trước Hội nghị Toán học Quốc tế tại Paris, David Hilbert đã nêu lên 23 bài toán-thách thức cần được giải quyết một cách cấp thiết, qua đó đề ra một chương trình nghiên cứu - cái sau này được gọi là Chương trình Hilbert - cho thế giới toán học trong nhiều năm sắp tới, mà chủ yếu xoáy vào việc xây dựng nền tảng logic của bộ môn này: mọi thứ trong toán học có thể và cần phải chứng minh dựa trên hệ tiên đề cơ sở. Nói cách khác, ông cho rằng tự bản thân toán học là đầy đủ và chặt chẽ trước mọi mâu thuẫn, và điều này có thể, và sẽ được, chứng minh chỉ bằng sử dụng hệ tiên đề cơ sở của toán học. Đây chính là hoài bão lớn lao, đồng thời, là niềm tin mãnh liệt của Hilbert. Và chính cậu bé Andrew Wileskhi đối diện với bài toán chưa có lời giải của mình, cũng đã thốt lên "mình phải giải được". Cậu đã tin chắc như vậy.

Những tiên đoán và khởi thảo của Hilbert cho một chứng minh về tính đầy đủ và phi-mâu thuẫn của toán học, cho dù dựa trên bất cứ dấu hiệu nào ngoài một chứng minh đầy đủ, thì được gọi là các giả thuyết mang tính tư biện. Giả thuyết cần được chứng minh, hoặc đúng hoặc sai, để được đối xử và sử dụng như một định lý, hay là một giấc mơ tan nát của lòng nhiệt thành. Không gì có thể đảm bảo cho sự đúng đắn của các giả thuyết, kể cả sự khăng khăng của người đề xuất. Do đó, tất nhiên, nghi ngờ là món quà của cộng đồng dành cho những ý tưởng được đề xuất, nhất là đối với những đề xuất táo bạo.

Tháng 9/1955, tại Hội nghị Toán học Quốc tế Tokyo, Yukata Taniyama, thông qua các vấn đề tham luận, nêu lên ý tưởng về mối quan hệ giữa các phương trình-đường cong eliptic và các dạng đối xứng thái quá Modular. Theo đó, mỗi phương trình eliptic sẽ có và luôn có một dạng modular tương ứng. Ý tưởng này chỉ được đón nhận một cách dè dặt từ cộng đồng; trong sự hoài nghi quá lớn, nó chỉ được đối xử như một ý tưởng ngẫu phát dựa trên những trùng hợp cá biệt. Bất chấp những hoài nghi, sau hội nghị, Goro Shimura, đồng nghiệp và cũng là bạn thân, cộng tác cùng Taniyama phát triển nghiên cứu giả thuyết. Và ông vẫn tiếp tục thực hiện việc thu thập các luận chứng để chứng tỏ mối quan hệ đó là khả dĩ, kể cả sau cái chết của người đồng sự Taniyama (1958). Mãi đến những năm thập kỷ 60, Giả thuyết Shimura-Taniyama mới thật sự được công nhận. Và giả thuyết cần được chứng minh.

Khó thể nói sự kiếm tìm vinh quang và vinh danh từ đồng loại không phải là động cơ ban đầu khởi phát những công trình khoa học. Nhưng động lực thực thụ, cái mà không ngừng thúc giục con người miệt mài làm việc năm này qua tháng nọ, cái neo con người và tâm trí của họ vào một và chỉ một câu hỏi suốt những tháng dài; cái trao cho con người sự bền bĩ kinh ngạc và quyết tâm to lớn ..., chính là sự thôi thúc của trí tò mò. Không chỉ là trả lời cho câu hỏi Cái gì?, mà là đi tới tận cùng của sự hiểu biết và trả lời bằng được câu hỏi Như thế nào? Và phần thưởng lớn nhất dành cho người giải câu đố, chính là cảm giác thỏa mãn phấn khích vì đã giải được câu đố. Với trường hợp của các chứng minh toán học, đa phần họ đã biết cần phải làm gì, họ chỉ cần biết phải làm như thế nào.

Mùa thu năm 1984, Gerhard Frey đưa ra một khẳng định về bài toán lớn nhất thế kỷ: nếu chứng minh được Giả thuyết Shimura-Taniyama là đúng, thì đồng thời chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat là đúng. Mùa hè năm 1986, Ken Ribert hoàn thiện nốt phát biểu của Frey: Chứng minh được Giả thuyết Shimura-Taniyama là đúng, nghĩa là chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat. Dường như chỉ chờ có vậy, Andrew Wiles - lúc này đã là giáo sư toán tại Đại học Princeton - lao vào cuộc thập tự chinh truy tìm Chén Thánh của toán học, của chính mình: công phá enigma.

Gần 7 năm ròng ẩn mình trong im lặng, cuối cùng, ngày 26/03/1993, tại Viện Isaac Newton ở Cambridge, trước sự chứng kiến của khoảng 200 trăm nhà toán học, và ba tấm bảng đen chi chít chữ, Andrew Wiles viết lại phát biểu Định lý cuối cùng của Fermat, rồi quay về phía cử tọa, khiêm tốn nói: "Có lẽ tôi xin phép được dừng ở đây". Và cả khán phòng vang dội tiếng vỗ tay chúc mừng.

Nhưng còn chưa hết.

Vào cuối những năm 1960, giữa lúc Giả thuyết Shimura-Taniyama đang gây xôn xao cộng đồng toán học thế giới, Robert Langland đã có một loạt đề xuất về các giả thuyết nhằm thống nhất lý thuyết số (số học) và lý thuyết nhóm (hình học), sau này được gọi là Chương trình Langland. Cho đến bấy giờ, những đề xuất của Langland không còn quá vô lý, với việc càng ngày càng có nhiều luận cứ (để) tin tưởng rằng Giả thuyết Shimura-Taniyama là đúng, thì tương lai thống nhất toán học là không quá viễn vông. Nhưng trước cả khi Giả thuyết Shimura-Taniyama được chứng minh một cách đầy đủ (1995), trước cả khi viễn cảnh về một sự thống nhất lớn của toán học trở nên rõ ràng, như thường lệ, Langland gặp phải một thách thức nhỏ: một bài toán nhỏ, cái ông gọi tên là bổ đề, mà hóa ra lại trở thành bổ đề cơ bản. Chuyện tới đây thì ai cũng rõ.

Nhưng còn chưa hết.

Bỏ qua hàng loạt các mỹ từ và danh xưng người ta dành tặng cho toán học, những ví von to tát mà phần nhiều chỉ là ngụy trang cho thái độ không bất trọng thị, toán học, như cứu cánh hướng tới cái phổ quát, là một môn học rất dung dị. Bất kỳ ai cũng có thể học toán, bất kỳ ai cũng có thể làm toán; thậm chí, có thể làm toán ngay cả khi không cần biết thêm bất cứ ngoại ngữ nào. Hơn nữa, vẻ đẹp của toán học chính là vẻ đẹp của trí tưởng tượng: sự tò mò. Chính điều đó đã dẫn dắt cậu học trò phổ thông Andrew Wiles đến với ý nghĩa cuộc đời mình, cũng chính điều đó đã mở bung cánh của tương lai cho cậu học trò phổ thông xứ Đoài, và chính điều đó đã thách thức sự kiên nhẫn của bạn cho tới tận những dòng chữ cuối cùng này.

Rồi họ sẽ trở thành một Gödel, hay một NBC, hay Taniyama, hoặc là không một ai cả; không thể biết trước được. Chúng ta chỉ có thể chờ đợi, chờ đợi, và chờ đợi một cậu học trò nhỏ phát hiện bài toán cuối cùng của cuộc đời mình.


Và con người lại tiếp tục chờ đợi.

VnMath.Com (Theo Càfê sữa)

Định lí Bất toàn: Chén thánh của chủ nghĩa hình thức

Định lí Bất toàn: Chén thánh của chủ nghĩa hình thức

Giới hạnThứ hai, ngày 06 tháng mười hai năm 2010

Bà Mẹ Tự Nhiên (The Mother Nature) đẻ ra không biết bao nhiêu đứa con kỳ lạ, nhưng kỳ lạ nhất vẫn là con người, bởi vì chỉ có con người mới nhận thức được sự tồn tại của chính Bà Mẹ đã đẻ ra nó. Nếu không có con người, Tự Nhiên sẽ trở nên vô nghĩa. Nói cách khác, nhận thức là đặc đặc trưng phân biệt con người với toàn bộ phần còn lại của vũ trụ. Chẳng thế mà Pascal đã định nghĩa “Con người là một cây sậy, một thứ yếu ớt nhất trong tự nhiên, nhưng là một cây sậy có tư tưởng”[1], còn Descartes thì tuyên bố: “Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại”[2].

Nhưng dù nhận thức đóng vai trò đặc biệt đến mấy đi chăng nữa, nó vẫn chỉ là một sản phẩm của tự nhiên, và do đó nó phải tuân thủ các định luật của tự nhiên. Một trong các định luật cơ bản của tự nhiên mà nhận thức phải tuân thủ là định luật về giới hạn: Nhận thức không bao giờ đạt tới cái tuyệt đối, cái toàn bộ, cái tận cùng – lý lẽ không thể đi tới cùng kỳ lý! Đó chính là điều John Saxe đã nói ngay từ thế kỷ 19 bằng truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi”, và đã được Reutersvard hoặc Penrose nhắc lại trong thế kỷ 20 dưới dạng “những mô hình bất khả” (impossible models)[3].
Tuy nhiên, khát vọng nhận thức vốn là một lẽ sống, một hòn than vĩnh cửu cháy âm ỉ trong lòng người, nên nhiều lúc nó bùng lên thành một ngọn lửa lớn, đẩy con người vào những cuộc phiêu lưu đầy tham vọng – tham vọng “biết hết mọi thứ”, “biết đến cùng kỳ lý của sự vật”! Điển hình là cuộc phiêu lưu của Chủ Nghĩa Hình Thức (Formalism) trong toán học đầu thế kỷ 20 hòng khám phá ra “Con Voi Toán Học”, y như chuyện Sáu anh chàng ở xứ Indostan muốn khám phá ra con voi của họ.
“Con Voi Toán Học” là gì? Xin tạm trả lời vắn tắt: Đó là một hệ thống chân lý tuyệt đối của toán học (tuyệt đối logic, tuyệt đối phi mâu thuẫn)!
Hệ thống chân lý ấy nếu tồn tại, ắt phải rất “thiêng liêng”, rất “vĩ đại”. Nhưng chính toán học đã chứng minh rằng “Con Voi Toán Học” chỉ là một giấc mơ không tưởng, và do đó nó đã được mệnh danh là “Chiếc Chén Thánh[4] của Chủ Nghĩa Hình Thức” (The Holy Grail of Formalism).
Nhưng mặc dù không tưởng, Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn như một “bóng ma” ám ảnh mọi nền giáo dục cho đến tận ngày hôm nay.
1] “Bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức:
Nếu Chủ Nghĩa Hình Thức chỉ đóng khung trong phạm vi nghiên cứu toán học thì đó là chuyện riêng của các nhà toán học, nhưng vì nó đã xâm nhập vào giáo dục, làm méo mó hệ thống giáo dục, vì thế nó đã trở thành một vấn đề xã hội!
Thật vậy, Chủ Nghĩa Hình Thức vốn coi toán học là một hệ logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi thế giới hiện thực, nên một khi đã xâm nhập vào giáo dục, nó biến thành một căn bệnh:
Bệnh sính hình thức, sính biến cái đơn giản thành phức tạp, sính sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ “hàn lâm” trừu tượng thay cho ngôn ngữ đời sống, đề cao ngôn ngữ này như “tiêu chuẩn” của chân lý, đến nỗi dám coi thường truyền thống giảng dạy của cha ông, tuỳ tiện vứt bỏ hoặc đảo lộn các chương trình kinh điển, rồi chủ quan áp đặt lên trẻ em một chương trình được gọi là “mới” nhưng thực chất chẳng có gì mới, mà chỉ là một sự nhồi nhét hàng đống kiến thức hình thức sáo rỗng, biến môn toán thành một môn học khó hiểu, nặng nề, đẩy học sinh tới chỗ mất kiến thức cơ bản, phải lao đi học thêm lu bù nhằm đối phó với thi cử, miễn sao giành được “miếng cơm manh áo”. Đó chính là tình trạng “dạy giả + học giả” tràn lan hiện nay.
Để chấn chỉnh giáo dục, phải học kỹ lại bài học lịch sử về Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức. Học lịch sử chính là học cách nhận thức!
Đó là nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của giáo dục mà Henri Poincaré đã từng nhắc nhở chúng ta ngay từ đầu thế kỷ 20: Nhiệm vụ của nhà giáo dục là phải tạo điều kiện để cho nhận thức của trẻ em được trải nghiệm lại tất cả những gì mà tổ tiên của các em đã từng trải qua. Sự trải nghiệm lại phải tiến hành một cách nhanh chóng thông qua những chặng nhất định, nhưng tuyệt nhiên không được lấp liếm bỏ sót một chặng nào cả. Với quan điểm đó, lịch sử khoa học chính là người dẫn đường cho chúng ta[5].
Trong những chặng đường của Chủ Nghĩa Hình Thức, có một chặng rất đặc biệt, không thể lấp liếm bỏ qua, đó là chặng đường của Gottlob Frege, người từng được coi là “Ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức”.
2] Ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức:
Ngay từ thế kỷ 18, Immanuel Kant đã nói: “Hình học dựa trên trực giác không gian; Số học dựa trên trực giác thời gian”[6].
Bước vào thế kỷ 20, David Hilbert phủ nhận Kant một cách tuyệt đối. Ông cho rằng toán học thực chất là các quan hệ logic, do đó những quan hệ này càng được hình thức hoá cao bao nhiêu thì toán học càng chính xác bấy nhiêu. Nói cách khác, toán học không phải là một khoa học thực dụng như vật lý, hoá học, bởi nó không nghiên cứu bản chất vật chất của các đối tượng, mà chỉ nghiên cứu mối quan hệ logic giữa các đối tượng đó mà thôi. Nếu toán học vấp phải nghịch lý, ấy là vì toán học trước đây vẫn còn vướng quá nhiều “bụi trần”, tức là chưa thật sự toán học, chưa thật sự là một hệ logic thuần tuý hình thức. Muốn có một nền toán học chân chính, phải giải phóng toán học một cách tuyệt đối khỏi thế giới hiện thực, phải hình thức hoá toán học một cách tuyệt đối từ nền móng cho tới thượng tầng. Muốn vậy, phải xây dựng lại toàn bộ cơ sở của toán học, hướng tới mục tiêu cuối cùng là hệ thống “siêu-toán-học” (metamathematics) – một hệ thống logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực, cho phép giải thích và chứng minh mọi mệnh đề toán học cho tới cùng kỳ lý, loại trừ hoàn toàn mọi nghịch lý, mâu thuẫn. Hilbert tin chắc rằng với một phương pháp nghiên cứu đúng đắn, trước sau toán học sẽ đạt tới mục tiêu đó. Câu châm ngôn nổi tiếng của ông, “Chúng ta phải biết, Chúng ta sẽ biết” (Wir müssen wissen, wir werden wissen), được khắc trên bia mộ ông đã nói lên tham vọng “vá trời lấp biển” của ông.
Để chứng minh tư tưởng của mình là đúng và khả thi, bản thân Hilbert đã bỏ công xây dựng lại Hình Học Euclid. Xuất phát từ một hệ 20 tiên đề[7], ông đã xây dựng nên một thứ hình học thuần tuý hình thức, không cần hình vẽ, được gọi là Hình Học Hilbert, ra mắt năm 1899 dưới tên gọi Cơ Sở Hình Học (Grundlagen der Geometrie). Nhưng không thoả mãn với những gì đã làm được, Hilbert kêu gọi toàn thế giới toán học cùng bắt tay vào việc tái thiết toà lâu đài toán học theo “thiết kế” của Chủ Nghĩa Hình Thức.
Mục tiêu tiếp theo là Số Học: Hãy xây dựng cho số học một hệ tiên đề hình thức đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn, để từ đó xây dựng nên một lý thuyết số học tuyệt đối hình thức. Đó chính là nội dung cơ bản của Bài Toán Số 2 trong số những bài toán ông nêu lên tại Hội Nghị Toán Học Thế Giới ở Paris năm 1900, như một thách thức đối với toán học thế kỷ 20.
Với uy tín lừng lẫy của bản thân, Hilbert đã tập hợp được phần lớn các nhà toán học đương thời dưới ngọn cờ của mình, bao gồm cả một kẻ thù vốn không đội trời chung với ông về hình học, đó là Gottlob Frege.
Thật vậy, Frege đồng ý với Kant rằng hình học dựa trên trực giác, và do đó đã quyết liệt chống đối Hilbert trong ý tưởng biến hình học thành một mớ logic hình thức thuần tuý. Nhưng trớ trêu thay, Frege lại đồng quan điểm với Hilbert khi cho rằng số học dựa trên logic, do đó đã trở thành cứu tinh của Hilbert về mặt số học: Frege đã lao vào làm một cuộc cách mạng về số học, nhằm biến số học thành một hệ logic hình thức thuần tuý, đúng như Hilbert mong muốn!
Để làm cuộc cách mạng đó, Frege bắt đầu xây dựng lại số học từ nền móng – định nghĩa lại khái niệm về số. Với Frege, từ nay số 2 không được hiểu một cách “tầm thường” là 2 con gà, 2 con vịt, … mà phải hiểu là tập hợp của các cặp đôi (pairs); 3 là tập hợp của các “bộ 3” (triples), một cách tổng quát, số là tập hợp của các tập hợp.
Định nghĩa ấy thể hiện tham vọng chính xác hoá các khái niệm toán học đến vô chừng vô độ: Frege đã tìm mọi cách “tẩy rửa”, vứt bỏ mọi ý nghĩa dính dáng đến vật chất cụ thể của số, vì chừng nào số còn gắn với ý nghĩa vật chất cụ thể thì chừng ấy số vẫn chứa đựng bên trong nó những “hạt sạn phi-toán-học” – nguồn gốc dẫn tới nghịch lý mâu thuẫn. Một nhà toán học đã bình luận rằng với Frege, 3 không phải là “number three” (số 3), mà là “the threeness” (cái 3) (!).
Sau khi thanh tẩy và hình thức hoá tuyệt đối các khái niệm cơ sở của của số học, Frege đã xây dựng nên hàng trăm định lý của số học dưới dạng hình thức tuyệt đối. Toàn bộ lý thuyết của ông đã được công bố trong bộ sách đồ sộ mang tên Cơ Sở Số Học (Grundlagen der Arithmetik), một bộ sách đã làm rung chuyển thế giới toán học. Thật vậy, các nhà toán học theo Chủ Nghĩa Hình Thức đã thật sự bị choáng ngợp trước “vẻ đẹp siêu thoát tinh tuyền hình thức” trong lý thuyết của Frege. Họ phấn chấn đến mức tưởng rằng sắp tìm thấy “Chiếc Chén Thánh”, và tưởng rằng “thiên đường của chủ nghĩa hình thức” đã lấp ló đâu đó ở phía chân trời!
Đó là lúc cuộc đời Frege đạt tới tột đỉnh vinh quang. Tên tuổi của ông nổi lên như sóng cồn. Người ta gọi ông là “ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức”. Cuốn Cơ Sở Số Học của ông được tôn vinh như một kiệt tác toán học, sánh vai với những tác phẩm toán học vĩ đại khác, như bộ Cơ Sở của Euclid chẳng hạn, và thậm chí được ca ngợi như cuốn “Kinh Koran của chủ nghĩa logic hình thức”, … (!)
Nếu câu chuyện dừng lại ở đây, thì quả thật không sao nói hết được sự thán phục mà người đời đã dành cho ông, và từ đó cũng có thể hiểu được vì sao Frege đã có một ảnh hưởng sâu đậm và lâu dài trong giới toán học và giáo dục toán học đến như thế: Sâu đậm và lâu dài đến nỗi sau khi lý thuyết của ông sụp đổ, ảnh hưởng của ông vẫn tiếp tục tồn tại – tồn tại không chỉ trong thời của ông và tại quê hương ông, mà tồn tại kéo dài cho tới tận ngày nay trên khắp thế giới, ngay cả trong những nền giáo dục xa lắc xa lơ với ông về mặt không gian lẫn thời gian, trong đó có nền giáo dục Việt Nam. Ảnh hưởng ấy phổ biến đến nỗi được coi như một thứ chủ nghĩa, được gọi là “chủ nghĩa Frege mới” (Neo-Fregeanism), hoặc chủ-nghĩa-lý-thuyết-logic-tập-hợp (logic-set theoreticism), vì công cụ chủ yếu Frege sử dụng để xây dựng Cơ Sở Số Học là logic và lý thuyết tập hợp.
3] Chủ nghĩa Frege mới:
Cách đây hơn 40 năm, tôi thấy chủ-nghĩa-lý-thuyết-logic-tập-hợp chỉ mới xuất hiện trên trường đại học, mặc dù không nghe thấy vị giáo sư nào nhắc đến cái tên Gottlob Frege. Nhưng hiện nay chủ nghĩa này đã tràn xuống trường phổ thông, mặc dù hầu như không thầy cô giáo dạy toán nào ý thức được rằng mình đang thực hành cái chủ nghĩa do Frege khởi xướng từ một thế kỷ trước đây.
Có lẽ các nhà biên soạn sách giáo khoa và các thầy cô giáo dạy toán của chúng ta hiện nay không ý thức được rằng họ đang hàng ngày sử dụng những ký hiệu và ngôn ngữ của một lý thuyết đã sụp đổ, chẳng hạn ký hiệu ” (mọi), $ (tồn tại), v.v. vì đó chính là những ký hiệu và ngôn ngữ do Frege sáng tác ra khi ông biên soạn bộ Cơ Sở Số Học. Cũng có thể các nhà biên soạn sách giáo khoa và các thầy cô giáo dạy toán của chúng ta càng không ý thức được rằng họ đang bắt chước Frege trong cách trình bầy toán học, sính diễn đạt toán học bằng những ký hiệu trừu tượng hình thức, xa rời ngôn ngữ đời sống, mà hoàn toàn không biết rằng chính Frege cuối cùng đã tự phủ nhận tư tưởng toán học của bản thân mình.
Đó là một sự thật trớ trêu, quá trớ trêu, bởi vì người ta đua nhau bắt chước một phong cách của một tác giả mà chính tác giả ấy đã tự chê bai và từ bỏ. Sự trớ trêu ấy đã làm cho nhà toán học Philip Kitcher phải chua chát thốt lên rằng: “Triết học toán học 30 năm qua chỉ là một chuỗi những ghi chú cho Frege”. Một nhà toán học khác là Reuben Hersh[8], tác giả cuốn “What is Mathematics, Really?” (Thực ra Toán Học là gì?), cũng buồn rầu thừa nhận: “Bất chấp sự thất bại về mặt triết học, chủ nghĩa lý thuyết logic tập hợp vẫn thống trị nền triết học toán học ngày nay”.
Thật vậy, bất chấp những lời trăng trối do chính Frege để lại, hậu thế vẫn tiếp tục đi theo vết xe đổ của ông. Đó là một hiện tượng kỳ quái, khó hiểu, và có thể là độc nhất vô nhị trong lịch sử khoa học nói chung và toán học nói riêng. Để “giải mã” hiện tượng kỳ quái đó, có người vội đặt dấu hỏi nghi vấn: Phải chăng trong di sản của Frege vẫn có cái hay cái đẹp đáng bắt chước, vì thế mới có “chủ nghĩa Frege mới”?
Xin trả lời ngay rằng KHÔNG!
Những ai còn nghĩ như thế thì chỉ chứng tỏ rằng người đó không biết gì về Frege, không biết gì về những lời trăng trối của Frege, không biết gì về lịch sử toán học thế kỷ 20, không biết gì về những bài học đã được rút ra từ lịch sử đó. Những người này có thể từng được coi là “giỏi toán”, có một vốn liếng toán học tiếp thu từ những thập kỷ cách đây vài chục năm, nhưng sau đó chỉ đem những vốn liếng đó ra hành nghề giảng dạy mà không chịu tiếp tục học hỏi mở mang thêm, không biết rằng thế giới đã thay đổi, đặc biệt từ cuối thế kỷ 20 cho đến nay, do đó vẫn tiếp tục “nằm trong chăn” để tụng niệm ngôn ngữ của Frege, coi đó là ngôn ngữ chân chính và duy nhất của toán học, và do đó vô tình tiếp tục nuôi dưỡng Chủ Nghĩa Hình Thức.
Với những người mê ngủ đó, cần phải gõ lên tiếng kẻng báo động: Chủ Nghĩa Hình Thức đã lỗi thời rồi, thậm chí đã chết rồi, chỉ còn cái “bóng ma” của nó vẫn cứ ám ảnh những nhà giáo dục mê ngủ mà thôi!
Thật vậy, cả Hilbert lẫn Frege đều đã bị chứng minh là nhầm lẫn. Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Gödel đã phủ nhận toàn bộ chương trình Hilbert, phủ nhận toàn bộ công trình hình thức hoá số học của Frege.
Kết luận trên có thể làm cho một số “học giả” dẫy nẩy lên phản ứng: Phủ nhận hình thức hoá là phủ nhận toán học, vì hình thức hoá là một phương tiện không thể thiếu của toán học, nhờ hình hức hoá mới có toán học ngày nay, chẳng hạn, nếu không hình thức hoá thì làm gì có số ảo i = , làm gì có lý thuyết số phức, làm gì có khoa học logic, và do đó làm gì có khoa học computer ngày nay, v.v. Vậy phủ nhận hình thức hoá tức là chống lại toán học, chống lại khoa học (!).
Với những “học giả” đó, cần phải nhắc lại điệp khúc “biết rồi, khổ lắm, nói mãi”, và đặc biệt, phải trích ý kiến của Reuben Hersh trong cuốn “Thực ra Toán Học là gì?” (đã dẫn). Hersh viết:
Logic là gì? Phải chăng đó là những quy luật tư duy chính xác? Kinh nghiệm thường ngày và những nghiên cứu phong phú của các nhà tâm lý học cho thấy phần lớn tư duy của chúng ta không tuân theo logic. Từ đó suy ra rằng, hoặc phần lớn tư duy của con người là sai, hoặc logic chỉ tác động trong một phạm vi quá hẹp. Computers chính là những chiếc máy tuân thủ logic, đó chính là câu trả lời! Logic là những quy tắc của máy tính! Logic cũng áp dụng cho con người khi con người cố gắng biến mình thành những chiếc máy tính!
Xin nói rõ thêm: Bài viết này không phản đối nhu cầu hình thức hoá trong nghiên cứu toán học, nhưng phản đối việc hình thức hoá, máy móc hoá, chương trình hoá bộ não của học sinh! Học sinh là con người chứ không phải những chiếc máy tính, đúng như Hersh đã nói! Xin đừng cố gắng biến học sinh thành máy tính! Xin các nhà giáo dục hiểu cho rằng đối tượng của giáo dục là con người chứ không phải những chiếc máy! Nghệ thuật của sư phạm có những đặc điểm riêng mà một người “giỏi toán” có thể không hiểu, bởi vì bản chất của giáo dục là KHAI TÂM chứ không phải là nhồi nhét kiến thức! Ngay cả đối với sinh viên đại học chứ đừng nói tới học sinh, việc khai tâm vẫn quan trọng hơn khai trí, bởi vì một khi tâm đã động thì học sinh và sinh viên có thể tự học, tự nghiên cứu, tự mở mang, và sẽ trở thành một trí thức chân chính, trong khi những con vẹt được điểm 10 trong thi cử sẽ chỉ trở thành những chiếc máy tính loại xoàng. Rất tiếc là lối dạy học nhồi nhét hình thức ngày nay chủ yếu chỉ tạo ra những con vẹt nhiều hơn là những trí thức chân chính!
4] Thay lời kết:
Riêng Frege, không cần đợi đến khi Định Lý Bất Toàn ra đời, ông đã thay đổi quan điểm, tự ông đã phê phán tính hão huyền của Chủ Nghĩa Hình Thức. Tại sao bỗng nhiên Frege thay đổi, và Frege đã thay đổi như thế nào? Đó là một bí mật lý thú cần phải làm sáng tỏ, và sẽ được làm sáng tỏ.
Rất tiếc là nhiều nhà giáo dục hiện nay đang bắt chước Frege lại không hề biết điều đó, và do đó họ không ý thức được rằng việc ra sức nhồi nhét vào đầu trẻ em những khái niệm trừu tượng xa rời thực tiễn không những chứng tỏ sự thiếu hiểu biết về lịch sử toán học, đồng thời còn tỏ ra thiếu hiểu biết về nghệ thuật sư phạm.

Phạm Việt Hưng

---

[1] L’homme est un roseau, le plus faible de la nature, mais c’est un roseau pensant.
[2] Je pense, donc je suis.
[3] Định lí Bất toàn (Theorem of Incompleteness): Giới hạn của nhận thức
[4] “Chiếc Chén Thánh” (The Holy Grail) là một thuật ngữ có nghĩa đen là chiếc ly Chúa Jesus đã dùng trong bữa tiệc cuối cùng với các môn đệ trước khi Chúa bị hành hình. Nhưng thuật ngữ này thường được dùng trong nền văn hoá tây phương với nghĩa bóng, ám chỉ những khát vọng có thể rất thiêng liêng, vĩ đại, nhưng quá xa vời, rất khó với tới, thậm chí không bao giờ với tới.
[5] Trích “L’enseignement mathématique”, Henri Poincaré, 1899
[6] Xem “What is Mathematics, Really?”, Reuben Hersh, Chapter 7, Immanuel Kant
[7] Xem thêm: “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng tháng 08-2002.
[8] Giáo sư danh dự Đại học New Mexico, nổi tiếng vì những công trình triết học toán học, từng đoạt Giải Thưởng Sách Quốc Gia Mỹ năm 1983 nhờ cuốn “Mathematical Experience”. Cuốn “What is Mathematics, Really?” được đánh giá là một “outstanding book” (một cuốn sách nổi bật) của năm 1998.

Sangaku - Toán học trong những đền thờ ở Nhật Bản

Sangaku - Toán học trong những đền thờ ở Nhật Bản

Giới hạnThứ ba, ngày 14 tháng mười hai năm 2010

Cách đây hàng trăm năm, những người dân ở Nhật cảm tạ thần linh bằng cách hiến tế một con ngựa hoặc lợn. Tuy nhiên, đây là những tài sản có giá trị nên những người dân nghèo gặp khó khăn khi muốn bày tỏ lòng thành của họ. Vì vậy họ nghĩ ra một giải pháp: thay vì hiến tế ngựa, họ chỉ cần vẽ hình một con ngựa lên một cái bảng gỗ và treo nó trong đền thờ.

Sau đó một người, có lẽ là một võ sĩ samurai khánh kiệt, nhận ra ngựa và lợn không phải là những thứ duy nhất có thể được vẽ trên một tấm bảng. Ông nảy ra ý tưởng vẽ một thứ thật nguyên bản, thật đẹp đẽ, một thứ thật sáng tạo. Và ông đã dâng lên thần linh môn toán học.

Hàng trăm bảng gỗ được sơn đẹp đẽ trên đó có những bài toán và các định lý hình học được dùng để trang hoàng những ngôi đền Nhật. Chúng được gọi là “sangaku”, đơn giản nghĩa là các bảng toán học. Ký tự trên các bảng là một dạng chữ Trung Quốc cổ, loại ngôn ngữ của các học giả, tương tự như chữ Latin ở phương Tây. Những bảng này chỉ mới được dịch sang những ngôn ngữ hiện đại trong vài mươi năm gần đây.

Tấm sangaku này được treo trong đền thờ Kinshouzan thuộc quận Gifu vào năm 1865. Trên đó là 12 bài toán hình học khác nhau. Bài toán thứ 3 từ bên phải sang là do một thiếu nữ 16 tuổi đưa ra.

Một giáo viên toán người Nhật, ông Hidetoshi Fukagawa, đã tìm kiếm, dịch và nghiên cứu những tấm bảng này. Mùa xuân tới, Fukagawa và Tony Rothman thuộc trường Đại học Princeton sẽ xuất bản toàn bộ lịch sử của sangaku, bao gồm những bức ảnh của nhiều tấm sangaku chưa từng được biết đến bên ngoài Nhật Bản.

Rothman cho biết “Sangaku thật độc đáo. Chúng không chỉ đặc biệt đẹp mà những bài toán trên đó cũng thường đặc biệt khó. Và lời giải có thể rất thông minh. Một số những bước người ta dùng để giải các bài toán đó tôi chưa từng biết đến.”

Những tấm sangaku được thực hiện trong suốt giai đoạn Nhật Bản gần như bị cô lập khỏi thế giới bên ngoài. Các nhà lãnh đạo shogun (tướng quân) đã trục xuất các nhà truyền đạo nước ngoài và cấm dân Nhật rời khỏi đất nước khoảng đầu thế kỷ 17. Kết quả là một giai đoạn phục hưng diễn ra ở Nhật cùng với sự nở rộ những truyền thống văn hóa độc đáo như trà đạo, sân khấu rối và in trên khối gỗ.

Tấm này được tạo ra vào năm 1814 nhưng người ta chỉ phát hiện ra nó vào năm 1994 khi ngôi đền cất giữ nó sắp bị phá hủy.

Cùng lúc đó, các shogun thuyết phục các chiến binh samurai hạ vũ khí và phục vụ chính quyền. Tuy nhiên, đồng lương còm cõi khiến các samurai phải tìm những việc làm khác. Một trong những việc đó là đi dạy toán trong trường học. Bị cách biệt với sự phát triển của ngành toán học diễn ra ở phương Tây, những nhà toán học này và các sinh viên của mình tạo ra một loại hình học quốc nội với những đặc trưng Nhật Bản độc đáo. Chẳng hạn như nhiều bài toán được giải dựa trên thuật gấp giấy origami hoặc quạt giấy.

Đây là một ví dụ của một bài toán sangaku. Vẽ một hình đa giác trong một hình tròn với mỗi góc của nó nằm trên đường tròn. Chọn một trong những đỉnh của đa giác và nối nó với các đỉnh khác, chia đa giác này thành nhiều hình tam giác. Trong những hình tam giác này, vẽ một đường tròn vừa chạm các cạnh của tam giác.Tổng số các bán kính của các hình tròn này sẽ là hằng số, không cần biết bạn chọn đỉnh nào.

Một tấm sangaku cho thấy tổng số các bán kính của các đường tròn nhỏ trong mỗi hình vẽ này đều bằng nhau.

Phần lớn các sangaku chỉ đơn giản đưa ra định lý và cung cấp một biểu đồ, nhưng chúng lại thiếu chứng minh. Cách chứng minh trực tiếp nhất là dựa vào định lý Carnot, định lý này chỉ được chứng minh ở phương Tây khoảng 100 năm sau khi người ta làm ra những sangaku. Rothman tin rằng những tấm sangaku không chỉ là vật tế tôn giáo mà “đóng vai trò thử thách lòng can đảm của những người đứng ra giải bài toán.

Khởi đầu vào khoảng năm 1800, một số bộ sưu tập các bài toán sangaku được chuyển thành sách, bao gồm cả bài giải vì vậy các nhà nghiên cứu biết được phương pháp giải gốc của nhiều bài toán. Nhưng hai tấm sangaku vẫn chưa có lời giải cho đến ngày nay. “Một trong những bài toán này có kết quả là một phương trình bậc 1024. Một nhà toán học sau này trở nên nổi tiếng vì giải xuống còn bậc 10, nhưng vẫn còn khó khăn phía trước. Chúng tôi không thể biết làm cách nào họ làm được điều đó.”

Nguồn: Theo Science News

Ảnh: Fukagawa

LỜI SÁM HỐI của một nhà toán học hình thức

LỜI SÁM HỐI của một nhà toán học hình thức

Giới hạnThứ hai, ngày 20 tháng mười hai năm 2010

Nếu lòng dũng cảm và tính trung thực là thước đo nhân cách của một nhà khoa học thì Gottlob Frege (1848-1925) phải được coi là một trong những nhà khoa học có nhân cách vĩ đại nhất: Mặc dù cay đắng đến tột cùng khi tác phẩm để đời của ông – cuốn Cơ Sở Số Học – bị sụp đổ tan tành chỉ vì một nghịch lý đã được phát hiện ngay trong nền tảng lý thuyết, nhưng Frege không tìm cách né tránh hoặc ngụy biện, mà ngược lại, đã xử sự như một người quân tử: Công khai thừa nhận sai lầm và rứt khoát từ bỏ lý tưởng toán học hình thức mà ông đã ấp ủ cả cuộc đời. Một năm trước khi mất, ông để lại những lời trăng trối vô cùng cảm động, như một lời sám hối về nhận thức sai lầm đối với bản chất của toán học.

Năm 1924, tức một năm trước khi mất, Frege trăng trối: “Nghịch lý tập hợp đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp”.

“Lời của kẻ sắp mất là lời khôn”: Năm 1931, Kurt Godel công bố Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness), cho thấy lý tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức chỉ là một ảo tưởng hão huyền – một cái vòng luẩn quẩn của kẻ đi tìm điểm cuối trên một đường tròn!
Trớ trêu thay, người vạch ra sai lầm của Frege lại là người vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng: Đó là Bertrand Russell (1872-1970), một người luôn luôn khao khát tìm kiếm chân lý tuyệt đối của toán học như một con chiên ngoan đạo khao khát đức tin tôn giáo.

1] “Tôn giáo” của Bertrand Russell:
Trong cuốn “Portraits from Memory” (Những chân dung qua trí nhớ) Russell viết: “Tôi khao khát tìm kiếm cái chắc chắn (certainty) giống như người ta khao khát đức tin tôn giáo. Tôi nghĩ tính chắc chắn dường như có trong toán học nhiều hơn ở bất kỳ nơi nào khác”. Nhưng ông không thoả mãn với những thứ toán học mà ông đã biết: “Tôi khám phá ra rằng nhiều chứng minh toán học, mà các thầy giáo của tôi muốn tôi chấp nhận, chứa đựng đầy rẫy sai lầm”, Russell viết. Vì thế, ông cho rằng cần phải xây dựng lại toán học, sao cho toán học trở thành một hệ thống chân lý thật sự đáng tin cậy: “Nếu tính chắc chắn thật sự có thể tìm thấy trong toán học thì đó sẽ là một lĩnh vực mới của toán học, với những nền tảng vững chắc hơn những nền tảng mà cho tới nay người ta tưởng là đã vững chắc lắm rồi”.
Với tư tưởng đó, Russell đã nghiễm nhiên gia nhập “phái nền tảng” (foundationism) – trường phái đòi xét lại nền tảng của toán học đầu thế kỷ 20. Phái này cũng chính là “phái hình thức” (formalism), bởi họ cho rằng muốn xây dựng lại toán học, phải triệt để hình thức hoá toàn bộ toán học, biến toán học thành một hệ logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn tách rời thế giới hiện thực, như Russell tuyên bố: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”. Chẳng hạn, khi xét mệnh đề 2 + 3 = 5, toán học “chân chính” không cần biết ý nghĩa vật chất cụ thể của các số 2, 3, 5 là cái gì, miễn là có được những định nghĩa và tiên đề nào đó về số cho phép kiểm tra mệnh đề đã cho là đúng hay sai. Nói cách khác, Russell coi bản chất toán học là logic, toán học đồng nghĩa với logic-học: Đó chính là chủ nghĩa logic (logicism) mà Frege đã áp dụng để xây dựng bộ Cơ Sở Số Học và David Hilbert cũng đã áp dựng trước đó để xây dựng cuốn Cơ Sở Hình Học.
Chủ nghĩa ấy giống như một thứ “tôn giáo thiêng liêng”: “Tôi tin rằng toán học là nguồn chủ yếu của niềm tin vào chân lý vĩnh cửu và chính xác, cũng như vào một thế giới siêu việt có thể nhận biết được bằng trí óc”, Russell viết. Chính vì khao khát nhận biết được cái “thế giới siêu việt” ấy nên Russell đã bàng hoàng xúc động khi đọc Cơ Sở Số Học của Frege, coi Frege như một ngôi sao dẫn đường của toán học hình thức.
Nhưng ngưỡng mộ Frege bao nhiêu, ông cũng lo lắng cho Frege bấy nhiêu, vì ông cảm thấy một nghịch lý do chính ông khám phá ra trước đó có thể huỷ hoại công trình của Frege. Đó là “Nghịch Lý Russell” (Russell’s Paradox), một nghịch lý đã đi vào lịch sử toán học như một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất!
2] Lá thư quyết định số phận của Frege:
Ngày 16-06-1902, Bertrand Russell gửi tới Frege một lá thư, trong đó có đoạn viết: “Trong công trình của ngài, tôi tìm thấy những lý thuyết đẹp đẽ nhất trong thời đại của chúng ta mà tôi biết, và do đó tôi tự cho phép mình bầy tỏ một sự kính trọng sâu xa đối với ngài”.
Russell không chỉ viết thư cho cá nhân Frege, mà còn giới thiệu công trình của Frege với toàn thế giới, mà trước đó hầu như nó không được ai biết đến. Có lẽ tính hình thức quá nặng nề làm cho nó trở nên khô khan, khó hiểu, không hấp dẫn. Nhưng Russell “tiêu hoá” được nó, ngưỡng mộ nó, vì chính ông cũng đang cùng với Alfred Whitehead viết một công trình tương tự: Principia Matematica (Nguyên Lý Toán Học). Nhưng tại sao Russell đã khám phá ra nghịch lý của ông từ một năm trước khi gửi thư tới Frege, mà trong thư ông vẫn coi công trình của Frege là một đột phá, một lý thuyết đẹp đẽ nhất? Đơn giản vì Russell không bao giờ từ bỏ khát vọng tìm kiếm một hệ thống chân lý tuyệt đối của toán học. Có thể ông cho rằng về căn bản Frege đã đi đúng hướng, vấn đề là Frege chỉ cần xem xét lại, sửa chữa công trình sao cho hoàn chỉnh hơn mà thôi!
Hoá ra tác giả của một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất của toán học cũng không ý thức được rằng bản chất của toán học cũng như mọi hệ thống nhận thức khác vốn bất toàn – không tồn tại một hệ logic tuyệt đối phi mâu thuẫn – như 29 năm sau đó Godel đã chứng minh.
Đó là lý do để Russell thông báo cho Frege biết nghịch lý của mình với một thái độ rất tao nhã, khiêm tốn: “Tôi tán thành với ngài về mọi điểm, nhưng chỉ có một điểm tôi gặp phải khó khăn …”.
Nhưng trong khi Russell khiêm tốn như thế thì chính Frege lại nhanh chóng nhận thấy nguy cơ sụp đổ toàn bộ công trình của đời mình.
Với bản chất trung thực, thẳng thắn hiếm có, ông lập tức viết thư trả lời Russell, và viết ngay một phụ lục bổ xung vào Tập 2 của bộ Cơ Sở Số Học đúng vào lúc nó chuẩn bị được đem in, như một sự công khai thừa nhận thất bại của mình: “Không còn gì tồi tệ hơn có thể xẩy đến với một nhà khoa học khi phải chứng kiến nền tảng lý thuyết của mình sụp đổ đúng vào lúc công trình được hoàn thành. Tôi đã bị đặt vào tình thế này do vừa nhận được một lá thư từ ngài Bertrand Russell”.
Nhà khoa học có thể gặp nhiều nỗi cay đắng, nhưng hiếm có nỗi cay đắng nào giống như của Frege: Ông mất năm 1925 với tâm trạng của một kẻ tin rằng công trình của cả cuộc đời mình chỉ dẫn tới sự vô ích. Cái chết của ông không được cộng đồng khoa học biết tới.
Thật là đau đớn, chua chát, nhưng có lẽ nỗi chua chát lớn nhất đối với Frege là sự vô tình của người đời trước những lời trăng trối vô cùng tha thiết của ông – những lời sám hối mà lẽ ra mọi người phải biết rõ.

Phạm Việt Hưng

Giai thoại về sự đãng trí và nhanh trí của các nhà Toán học

Giai thoại về sự đãng trí và nhanh trí của các nhà Toán học

Giới hạnThứ hai, ngày 25 tháng tư năm 2011

Toán học thật lý thú, ẩn chứa trong nó biết bao bí ẩn, những con người làm nên toán học cũng không kém phần diệu kì.

NewtonCó người hỏi Newton:
-Thưa ông, muốn hình thành 1 phát minh khoa học có cần nhiều thời gian lắm ko?
-Ko! Đối với tôi rất dễ dàng! Có điều là trước đó, tôi phải suy nghĩ rất lâu!

Euclide:
Có 1 lần, sau khi giảng về phân số, thầy giáo hỏi Ơclít:
- Nếu có người đưa cho em 2 quả táo to bằng nhau, 1 quả nguyên và 1 quả đã bổ làm đôi. Người đó bảo em hãy chọn 1 phần, hoặc là quả táo nguyên, hoặc là quả táo đã bổ ra làm đôi, em chọn phần nào?
Ơclít trả lời:
-Thưa thầy em sẽ chọn quả táo đã bổ ra làm đôi ạ!
Thầy ngạc nhiên hỏi lại:
-Thế em ko biết 2 nửa quả táo cũng chỉ bằng 1 quả táo thôi hay sao?
Ơclít nhanh trí đáp lại:
-Thưa thầy, cũng bằng nhau nhưng em lấy 2 nửa quả táo vì biết đâu quả táo nguyên đã chẳng bị sâu đục khoét ở trong!

ArchimèdeArchimède (Acsimet) là công dân của Syracuse, một thành phố trên hòn đảo mà ngày nay chúng ta gọi là Sicile. Ông sinh khoảng năm 287, mất năm 212 trước CN, sống gần 75 tuổi .
Vua của thành Syracuse cho làm một chiếc vương miện bằng vàng nguyên chất. Khi vương miện được làm xong, nhà vua nghi ngờ rằng nó có thể pha lẫn bạc và đã hỏi Acsimet làm thế nào để biết được báu vật có đúng là vàng nguyên chất không ?
Acsimet đã suy nghĩ rất lâu nhưng chưa tìm được ra câu trả lời, mà ngày trả lời vua sắp đến. Một hôm, lúc đang tắm ở một nhà tắm công cộng, nhà bác học bỗng nhận thấy rằng mực nước dâng cao lên khi ông nhảy vào nước . Người ta kể lại rằng, lúc đấy bất thình lình ông phát hiện ra phương pháp giải quyết bài toán về chiếc vương miện, quá phấn khởi ông vội vàng nhảy ra khỏi bể tắm và vừa chạy trần chuồng vừa hét tướng lên :" Eureka ! ( Ơreka ! Tôi đã tìm ra rồi ).

Dupon
Morixơ Đuypông mắc tính đãng trí. Có 1 lần, ông viết thư cho bạn:
-"Bạn thân mến, hôm trước về thăm anh, tôi để quên cái gậy chống ở nhà anh. Khi nào có người lên nhờ anh chuyển nó giúp tôi nhé!"
Đang lúc dán phong bì, ông nhìn thấy chiếc gậy dựng ở góc phòng. Ông bèn giở phong bì ra và viết thêm:
-"Tôi đã tìm thấy cái gậy ở nhà tôi rồi. Anh đừng bận tâm nữa nhé!"
Sau đó, Đuypông lại cho thư vào phong bì, dán lại và gửi đi.

PoincaréTại một hội nghị khoa học, Einstein gặp Poincaré và nói: “Ngày xưa tôi muốn theo đường làm Toán nhưng rồi phải bỏ. Vì giữa những điều đúng chứng minh được, tôi không biết điều nào quan trọng.” Poincaré trả lời: “Còn tôi thì ngày xưa muốn theo Vật lý nhưng sau phải bỏ. Vì trong những điều cho là quan trọng, tôi không biết điều nào đúng.”

Répbéc
Tennixin, nhà thơ lớn của nước Anh, có bài thơ nổi tiếng "Trường ca về cuộc sống".
Một hôm, ông nhận được 1 bức thư của Répbéc, một nhà Toán học có uy tín gửi đến phê bình bài thơ đó. Thư viết:
-"Thưa ông, thơ của ông rất hay, nhưng toàn sai sự thật. Ông viết: Mỗi khoảnh khắc 1 con người sinh ra, cũng khoảnh khắc ấy lại con người chết đi.
Vậy thì ông lý giải thế nào về chuyện dân số ngày càng tăng. Tôi tha thiết yêu cầu ông chữa lại: Mỗi khoảnh khắc 1 con người sinh ra, cũng khoảnh khắc ấy lại 1/6 con người chết đi.
Lẽ ra ko phải 1/6 mà là con số lẻ phức tạp hơn nhiều. Nhưng thôi hãy tạm như vậy để ông gieo vần. Mong ông hiểu cho."

NewtonMột hôm trước khi ra phố, Newton treo 1 cái biển nhỏ trước nhà có ghi dòng chữ: "Bạn nào đến thăm tôi, xin hãy đợi, 5h chiều tôi sẽ về"
Lúc 4h, Newton trở về. Đọc xong dòng chữ trên, ông bỏ đi và tự nhủ: ta phải đi 1 lát nữa, chủ nhà bảo đến 5h ông ta mới về kia mà! Lúc đó, ta sẽ trở lại ! Edit

Trả lời các câu hỏi tuyển dụng hóc búa của Google

Trả lời các câu hỏi tuyển dụng hóc búa của Google

Giới hạnThứ sáu, ngày 25 tháng mười một năm 2011

Đã đăng: Trả lời những câu phỏng vấn của Microsoft

Những câu phỏng vấn oái ăm tại Facebook, IBM...

1. Một chiếc xe bus có thể chứa được bao nhiêu quả bóng đánh gôn?

1 chiếc xe buýt thông thường có chiều dài 6m, rộng 2,5m và cao 1,8m. Kích thước ấy tương đương với thể tích khoảng 26.220l. 1 quả bóng đánh gôn có thể tích khoảng 0,04l. Như vậy chia 26.220 cho 0,04 ta sẽ có khoảng 655.000 quả bóng gôn. Trừ đi chỗ ghế ngồi và các đồ vật khác, ước tính 1 xe buýt sẽ chứa được khoảng 500.000 quả bóng gôn.

Tất nhiên những con số này chỉ là tương đối bởi còn phụ thuộc kích thước xe buýt và nhiều yếu tố khác. Nhưng mục tiêu chủ yếu của Google là thử khả năng giải quyết vấn đề của ứng viên mà thôi.

2. Tại một đất nước mà mọi gia đình chỉ dừng sinh con nếu họ đã có 1 con trai, nếu đứa trẻ sinh ra là bé gái, họ sẽ tiếp tục có thêm em bé cho đến khi có bé trai đầu tiên thì dừng lại. Vậy tỷ lệ nam nữ của đất nước này là bao nhiêu?

Giả sử có 10 cặp vợ chồng có 10 em bé trong đó 5 nam 5 nữ. 5 cặp vợ chồng có bé nữ sẽ tiếp tục sinh tiếp và tỷ lệ sẽ là 2,5 cho nam và 2,5 cho nữ. Tiếp tục ta sẽ có 1,25 cho nam; 1,25 cho nữ. Vậy tổng cộng là 17,5 em bé với 8,75 nam và 8,75 nữ. Cứ tiếp tục như vậy và tỉ lệ nam nữ của đất nước này sẽ là 50/50.

3. Hãy lập một kế hoạch sơ tán cho thành phố San Francisco khi có sự cố.

Tương tự, đây chỉ là 1 câu hỏi nhằm thử khả năng nhìn nhận vấn đề của ứng viên. Có lẽ cách tốt nhất khi bị hỏi câu hỏi này là hỏi lại người phỏng vấn: “Chúng ta sẽ lập kế hoạch sơ tán cho sự cố gì?”.

4. Tại sao nắp cống lại có hình tròn?

Để nó không bị rơi xuống cống.

5. Có tất cả bao nhiêu người lên dây nhạc cho đàn piano trên toàn thế giới?

Điều này phụ thuộc vào từng thị trường. Nếu đàn piano cần lên dây mỗi tuần 1 lần và mỗi lần mất 1 tiếng. 1 người lên dây đàn làm việc 8 tiếng 1 ngày trong 5 ngày 1 tuần. Như vậy mỗi tuần sẽ có 40 chiếc piano cần lên dây mỗi tuần. Vậy câu trả lời sẽ là 1 người cho mỗi 40 chiếc đàn.

Trên Wikipedia cũng có vấn đề Fermi tương tự: “Có bao nhiêu người lên dây đàn piano ở Chicago?”. 1 giải pháp điển hình là đưa ra các con số dự đoán và giả sử rồi tính ra kết quả cuối cùng. Ví dụ như sau:

Có khoảng 5 triệu người sống ở Chicago. Trung bình 1 nhà có 2 người và 1/20 nhà có 1 đàn piano cần lên dây thường xuyên – khoảng 1 lần 1 năm. Tính cả thời gian đi lại thì 1 người lên dây đàn mất 2 tiếng để lên dây xong 1 chiếc đàn piano. Mỗi người làm việc 8 tiếng 1 ngày, 5 ngày 1 tuần và 50 tuần 1 năm.

Vậy ta có thể tính ra số người lên dây đàn ở Chicago là:

5.000.000 (người ở Chicago) / 2 (người/nhà) x 1/20 (đàn/nhà) x 1 (lần lên dây đàn mỗi năm) = 125.000 (lần lên dây đàn mỗi năm).

50 (tuần/năm) x 5 (ngày/tuần) x 8 (giờ/ngày) x ½ (1 đàn mất 2 giờ) = 1000 (lần lên dây cho mỗi người 1 năm).

Và kết quả là 125.000/1000 = 125 người lên dây đàn ở Chicago.

Có rất nhiều những câu hỏi tương tự như thế này như “Có bao nhiêu người sống trên hành tinh? …).

6. Có bao nhiêu lần các kim đồng hồ ở vị trí trùng nhau trong một ngày?

22 lần (12:00, 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49, 10:55).

7. Giải thích ý nghĩa của “dead beef” (thịt con bò đã được mổ xẻ)?

Chỉ cần Google là bạn có thể có ngay câu trả lời. (Câu hỏi này là dành cho vị trí Kỹ sư phần mềm).

“Dead beef” là thông báo lỗi 0xDEADBEEF được dùng trong hệ thống IBM RS/6000, bộ xử lý PowerPC 32-bit của Mac OS và Commodore Amiga. Trong hệ điều hành Solaris của Sun Microsystems nó có nghĩa là giải phóng bộ nhớ hệ thống. Còn trong OpenVMS chạy bộ xử lý Alpha thì bạn có thể thấy DEAD_BEEF bằng cách ấn CTRL-T.[3]

8. Bạn cần biết Bob, một người bạn của mình có số điện thoại chính xác của mình hay không mà không được phép hỏi trực tiếp anh chàng này. Bạn phải viết câu hỏi lên một tờ giấy để nhờ Eve đưa cho Bob rồi mới nhận được câu trả lời. Bạn sẽ viết gì để Bob hiểu mà Eve không biết được số điện thoại của bạn?

Rất đơn giản. Chỉ cần nhắn Bob gọi điện cho mình vào 1 thời gian nhất định. Nếu Bob gọi, nghĩa là anh ấy biết số, còn không thì là anh ấy không biết.

9. Bạn là thuyền trưởng của một nhóm cướp biển và cần trưng cầu ý kiến của tất cả tên cướp này về việc chia vàng cho các thành viên. Nếu số ý kiến đồng ý với bạn ít hơn một nửa số thành viên của nhóm, bạn sẽ phải chết. Bạn sẽ chia như thế nào để có thể sống được?

Chia đều số vàng cho 51% thành viên trong đoàn.

10. Có 8 quả bóng giống nhau hoàn toàn về kích thước nhưng trong đó có 1 quả nhẹ hơn tất cả. Hãy tìm ra quả bóng này chỉ với 1 cái cân và 2 lần cân.

Lấy 6 quả đặt lên cân mỗi bên 3 quả. Nếu 2 bên bằng nhau thì quả nhẹ hơn sẽ nằm trong 2 quả còn lại, và cân 2 quả còn lại là sẽ tìm được quả nhẹ hơn.

Còn nếu quả nhẹ hơn ở trong 6 quả kia thì phạm vi thu gọn xuống còn 3 quả ở bên nhẹ hơn. Trong 3 quả ấy chọn 2 quả đặt lên cân. Nếu cân không bằng thì quả nhẹ hơn sẽ ở bên nhẹ hơn, còn nếu cân bằng thì quả nhẹ hơn sẽ là quả còn lại không đem cân.

11. Giải thích ý nghĩa của cơ sở dữ liệu chỉ trong 3 câu cho 1 đứa bé 8 tuổi.

Mục đích của câu hỏi này là thử khả năng giải thích ngắn gọn 1 nội dung phức tạp của ứng viên mà thôi. Có thể trả lời là : “Cơ sở dữ liệu là 1 bộ máy nhớ rất nhiều thông tin về rất nhiều thứ. Con người dùng chúng để nhớ các thông tin. Ra ngoài chơi tiếp đi”.

Tham khảo Business Insider

Theo Mask Online

PS: Các câu trả lời trên chỉ mang tính gợi ý, có thể không chính xác.