Định lí Bất toàn: Chén thánh của chủ nghĩa hình thức

Định lí Bất toàn: Chén thánh của chủ nghĩa hình thức

Giới hạnThứ hai, ngày 06 tháng mười hai năm 2010

Bà Mẹ Tự Nhiên (The Mother Nature) đẻ ra không biết bao nhiêu đứa con kỳ lạ, nhưng kỳ lạ nhất vẫn là con người, bởi vì chỉ có con người mới nhận thức được sự tồn tại của chính Bà Mẹ đã đẻ ra nó. Nếu không có con người, Tự Nhiên sẽ trở nên vô nghĩa. Nói cách khác, nhận thức là đặc đặc trưng phân biệt con người với toàn bộ phần còn lại của vũ trụ. Chẳng thế mà Pascal đã định nghĩa “Con người là một cây sậy, một thứ yếu ớt nhất trong tự nhiên, nhưng là một cây sậy có tư tưởng”[1], còn Descartes thì tuyên bố: “Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại”[2].

Nhưng dù nhận thức đóng vai trò đặc biệt đến mấy đi chăng nữa, nó vẫn chỉ là một sản phẩm của tự nhiên, và do đó nó phải tuân thủ các định luật của tự nhiên. Một trong các định luật cơ bản của tự nhiên mà nhận thức phải tuân thủ là định luật về giới hạn: Nhận thức không bao giờ đạt tới cái tuyệt đối, cái toàn bộ, cái tận cùng – lý lẽ không thể đi tới cùng kỳ lý! Đó chính là điều John Saxe đã nói ngay từ thế kỷ 19 bằng truyện ngụ ngôn “Thầy Bói Xem Voi”, và đã được Reutersvard hoặc Penrose nhắc lại trong thế kỷ 20 dưới dạng “những mô hình bất khả” (impossible models)[3].
Tuy nhiên, khát vọng nhận thức vốn là một lẽ sống, một hòn than vĩnh cửu cháy âm ỉ trong lòng người, nên nhiều lúc nó bùng lên thành một ngọn lửa lớn, đẩy con người vào những cuộc phiêu lưu đầy tham vọng – tham vọng “biết hết mọi thứ”, “biết đến cùng kỳ lý của sự vật”! Điển hình là cuộc phiêu lưu của Chủ Nghĩa Hình Thức (Formalism) trong toán học đầu thế kỷ 20 hòng khám phá ra “Con Voi Toán Học”, y như chuyện Sáu anh chàng ở xứ Indostan muốn khám phá ra con voi của họ.
“Con Voi Toán Học” là gì? Xin tạm trả lời vắn tắt: Đó là một hệ thống chân lý tuyệt đối của toán học (tuyệt đối logic, tuyệt đối phi mâu thuẫn)!
Hệ thống chân lý ấy nếu tồn tại, ắt phải rất “thiêng liêng”, rất “vĩ đại”. Nhưng chính toán học đã chứng minh rằng “Con Voi Toán Học” chỉ là một giấc mơ không tưởng, và do đó nó đã được mệnh danh là “Chiếc Chén Thánh[4] của Chủ Nghĩa Hình Thức” (The Holy Grail of Formalism).
Nhưng mặc dù không tưởng, Chủ Nghĩa Hình Thức vẫn như một “bóng ma” ám ảnh mọi nền giáo dục cho đến tận ngày hôm nay.
1] “Bóng ma” của Chủ Nghĩa Hình Thức:
Nếu Chủ Nghĩa Hình Thức chỉ đóng khung trong phạm vi nghiên cứu toán học thì đó là chuyện riêng của các nhà toán học, nhưng vì nó đã xâm nhập vào giáo dục, làm méo mó hệ thống giáo dục, vì thế nó đã trở thành một vấn đề xã hội!
Thật vậy, Chủ Nghĩa Hình Thức vốn coi toán học là một hệ logic hình thức thuần tuý, hoàn toàn tách rời khỏi thế giới hiện thực, nên một khi đã xâm nhập vào giáo dục, nó biến thành một căn bệnh:
Bệnh sính hình thức, sính biến cái đơn giản thành phức tạp, sính sử dụng ký hiệu và ngôn ngữ “hàn lâm” trừu tượng thay cho ngôn ngữ đời sống, đề cao ngôn ngữ này như “tiêu chuẩn” của chân lý, đến nỗi dám coi thường truyền thống giảng dạy của cha ông, tuỳ tiện vứt bỏ hoặc đảo lộn các chương trình kinh điển, rồi chủ quan áp đặt lên trẻ em một chương trình được gọi là “mới” nhưng thực chất chẳng có gì mới, mà chỉ là một sự nhồi nhét hàng đống kiến thức hình thức sáo rỗng, biến môn toán thành một môn học khó hiểu, nặng nề, đẩy học sinh tới chỗ mất kiến thức cơ bản, phải lao đi học thêm lu bù nhằm đối phó với thi cử, miễn sao giành được “miếng cơm manh áo”. Đó chính là tình trạng “dạy giả + học giả” tràn lan hiện nay.
Để chấn chỉnh giáo dục, phải học kỹ lại bài học lịch sử về Chiếc Chén Thánh của Chủ Nghĩa Hình Thức. Học lịch sử chính là học cách nhận thức!
Đó là nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của giáo dục mà Henri Poincaré đã từng nhắc nhở chúng ta ngay từ đầu thế kỷ 20: Nhiệm vụ của nhà giáo dục là phải tạo điều kiện để cho nhận thức của trẻ em được trải nghiệm lại tất cả những gì mà tổ tiên của các em đã từng trải qua. Sự trải nghiệm lại phải tiến hành một cách nhanh chóng thông qua những chặng nhất định, nhưng tuyệt nhiên không được lấp liếm bỏ sót một chặng nào cả. Với quan điểm đó, lịch sử khoa học chính là người dẫn đường cho chúng ta[5].
Trong những chặng đường của Chủ Nghĩa Hình Thức, có một chặng rất đặc biệt, không thể lấp liếm bỏ qua, đó là chặng đường của Gottlob Frege, người từng được coi là “Ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức”.
2] Ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức:
Ngay từ thế kỷ 18, Immanuel Kant đã nói: “Hình học dựa trên trực giác không gian; Số học dựa trên trực giác thời gian”[6].
Bước vào thế kỷ 20, David Hilbert phủ nhận Kant một cách tuyệt đối. Ông cho rằng toán học thực chất là các quan hệ logic, do đó những quan hệ này càng được hình thức hoá cao bao nhiêu thì toán học càng chính xác bấy nhiêu. Nói cách khác, toán học không phải là một khoa học thực dụng như vật lý, hoá học, bởi nó không nghiên cứu bản chất vật chất của các đối tượng, mà chỉ nghiên cứu mối quan hệ logic giữa các đối tượng đó mà thôi. Nếu toán học vấp phải nghịch lý, ấy là vì toán học trước đây vẫn còn vướng quá nhiều “bụi trần”, tức là chưa thật sự toán học, chưa thật sự là một hệ logic thuần tuý hình thức. Muốn có một nền toán học chân chính, phải giải phóng toán học một cách tuyệt đối khỏi thế giới hiện thực, phải hình thức hoá toán học một cách tuyệt đối từ nền móng cho tới thượng tầng. Muốn vậy, phải xây dựng lại toàn bộ cơ sở của toán học, hướng tới mục tiêu cuối cùng là hệ thống “siêu-toán-học” (metamathematics) – một hệ thống logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực, cho phép giải thích và chứng minh mọi mệnh đề toán học cho tới cùng kỳ lý, loại trừ hoàn toàn mọi nghịch lý, mâu thuẫn. Hilbert tin chắc rằng với một phương pháp nghiên cứu đúng đắn, trước sau toán học sẽ đạt tới mục tiêu đó. Câu châm ngôn nổi tiếng của ông, “Chúng ta phải biết, Chúng ta sẽ biết” (Wir müssen wissen, wir werden wissen), được khắc trên bia mộ ông đã nói lên tham vọng “vá trời lấp biển” của ông.
Để chứng minh tư tưởng của mình là đúng và khả thi, bản thân Hilbert đã bỏ công xây dựng lại Hình Học Euclid. Xuất phát từ một hệ 20 tiên đề[7], ông đã xây dựng nên một thứ hình học thuần tuý hình thức, không cần hình vẽ, được gọi là Hình Học Hilbert, ra mắt năm 1899 dưới tên gọi Cơ Sở Hình Học (Grundlagen der Geometrie). Nhưng không thoả mãn với những gì đã làm được, Hilbert kêu gọi toàn thế giới toán học cùng bắt tay vào việc tái thiết toà lâu đài toán học theo “thiết kế” của Chủ Nghĩa Hình Thức.
Mục tiêu tiếp theo là Số Học: Hãy xây dựng cho số học một hệ tiên đề hình thức đầy đủ, độc lập, phi mâu thuẫn, để từ đó xây dựng nên một lý thuyết số học tuyệt đối hình thức. Đó chính là nội dung cơ bản của Bài Toán Số 2 trong số những bài toán ông nêu lên tại Hội Nghị Toán Học Thế Giới ở Paris năm 1900, như một thách thức đối với toán học thế kỷ 20.
Với uy tín lừng lẫy của bản thân, Hilbert đã tập hợp được phần lớn các nhà toán học đương thời dưới ngọn cờ của mình, bao gồm cả một kẻ thù vốn không đội trời chung với ông về hình học, đó là Gottlob Frege.
Thật vậy, Frege đồng ý với Kant rằng hình học dựa trên trực giác, và do đó đã quyết liệt chống đối Hilbert trong ý tưởng biến hình học thành một mớ logic hình thức thuần tuý. Nhưng trớ trêu thay, Frege lại đồng quan điểm với Hilbert khi cho rằng số học dựa trên logic, do đó đã trở thành cứu tinh của Hilbert về mặt số học: Frege đã lao vào làm một cuộc cách mạng về số học, nhằm biến số học thành một hệ logic hình thức thuần tuý, đúng như Hilbert mong muốn!
Để làm cuộc cách mạng đó, Frege bắt đầu xây dựng lại số học từ nền móng – định nghĩa lại khái niệm về số. Với Frege, từ nay số 2 không được hiểu một cách “tầm thường” là 2 con gà, 2 con vịt, … mà phải hiểu là tập hợp của các cặp đôi (pairs); 3 là tập hợp của các “bộ 3” (triples), một cách tổng quát, số là tập hợp của các tập hợp.
Định nghĩa ấy thể hiện tham vọng chính xác hoá các khái niệm toán học đến vô chừng vô độ: Frege đã tìm mọi cách “tẩy rửa”, vứt bỏ mọi ý nghĩa dính dáng đến vật chất cụ thể của số, vì chừng nào số còn gắn với ý nghĩa vật chất cụ thể thì chừng ấy số vẫn chứa đựng bên trong nó những “hạt sạn phi-toán-học” – nguồn gốc dẫn tới nghịch lý mâu thuẫn. Một nhà toán học đã bình luận rằng với Frege, 3 không phải là “number three” (số 3), mà là “the threeness” (cái 3) (!).
Sau khi thanh tẩy và hình thức hoá tuyệt đối các khái niệm cơ sở của của số học, Frege đã xây dựng nên hàng trăm định lý của số học dưới dạng hình thức tuyệt đối. Toàn bộ lý thuyết của ông đã được công bố trong bộ sách đồ sộ mang tên Cơ Sở Số Học (Grundlagen der Arithmetik), một bộ sách đã làm rung chuyển thế giới toán học. Thật vậy, các nhà toán học theo Chủ Nghĩa Hình Thức đã thật sự bị choáng ngợp trước “vẻ đẹp siêu thoát tinh tuyền hình thức” trong lý thuyết của Frege. Họ phấn chấn đến mức tưởng rằng sắp tìm thấy “Chiếc Chén Thánh”, và tưởng rằng “thiên đường của chủ nghĩa hình thức” đã lấp ló đâu đó ở phía chân trời!
Đó là lúc cuộc đời Frege đạt tới tột đỉnh vinh quang. Tên tuổi của ông nổi lên như sóng cồn. Người ta gọi ông là “ngọn đèn pha của Chủ Nghĩa Hình Thức”. Cuốn Cơ Sở Số Học của ông được tôn vinh như một kiệt tác toán học, sánh vai với những tác phẩm toán học vĩ đại khác, như bộ Cơ Sở của Euclid chẳng hạn, và thậm chí được ca ngợi như cuốn “Kinh Koran của chủ nghĩa logic hình thức”, … (!)
Nếu câu chuyện dừng lại ở đây, thì quả thật không sao nói hết được sự thán phục mà người đời đã dành cho ông, và từ đó cũng có thể hiểu được vì sao Frege đã có một ảnh hưởng sâu đậm và lâu dài trong giới toán học và giáo dục toán học đến như thế: Sâu đậm và lâu dài đến nỗi sau khi lý thuyết của ông sụp đổ, ảnh hưởng của ông vẫn tiếp tục tồn tại – tồn tại không chỉ trong thời của ông và tại quê hương ông, mà tồn tại kéo dài cho tới tận ngày nay trên khắp thế giới, ngay cả trong những nền giáo dục xa lắc xa lơ với ông về mặt không gian lẫn thời gian, trong đó có nền giáo dục Việt Nam. Ảnh hưởng ấy phổ biến đến nỗi được coi như một thứ chủ nghĩa, được gọi là “chủ nghĩa Frege mới” (Neo-Fregeanism), hoặc chủ-nghĩa-lý-thuyết-logic-tập-hợp (logic-set theoreticism), vì công cụ chủ yếu Frege sử dụng để xây dựng Cơ Sở Số Học là logic và lý thuyết tập hợp.
3] Chủ nghĩa Frege mới:
Cách đây hơn 40 năm, tôi thấy chủ-nghĩa-lý-thuyết-logic-tập-hợp chỉ mới xuất hiện trên trường đại học, mặc dù không nghe thấy vị giáo sư nào nhắc đến cái tên Gottlob Frege. Nhưng hiện nay chủ nghĩa này đã tràn xuống trường phổ thông, mặc dù hầu như không thầy cô giáo dạy toán nào ý thức được rằng mình đang thực hành cái chủ nghĩa do Frege khởi xướng từ một thế kỷ trước đây.
Có lẽ các nhà biên soạn sách giáo khoa và các thầy cô giáo dạy toán của chúng ta hiện nay không ý thức được rằng họ đang hàng ngày sử dụng những ký hiệu và ngôn ngữ của một lý thuyết đã sụp đổ, chẳng hạn ký hiệu ” (mọi), $ (tồn tại), v.v. vì đó chính là những ký hiệu và ngôn ngữ do Frege sáng tác ra khi ông biên soạn bộ Cơ Sở Số Học. Cũng có thể các nhà biên soạn sách giáo khoa và các thầy cô giáo dạy toán của chúng ta càng không ý thức được rằng họ đang bắt chước Frege trong cách trình bầy toán học, sính diễn đạt toán học bằng những ký hiệu trừu tượng hình thức, xa rời ngôn ngữ đời sống, mà hoàn toàn không biết rằng chính Frege cuối cùng đã tự phủ nhận tư tưởng toán học của bản thân mình.
Đó là một sự thật trớ trêu, quá trớ trêu, bởi vì người ta đua nhau bắt chước một phong cách của một tác giả mà chính tác giả ấy đã tự chê bai và từ bỏ. Sự trớ trêu ấy đã làm cho nhà toán học Philip Kitcher phải chua chát thốt lên rằng: “Triết học toán học 30 năm qua chỉ là một chuỗi những ghi chú cho Frege”. Một nhà toán học khác là Reuben Hersh[8], tác giả cuốn “What is Mathematics, Really?” (Thực ra Toán Học là gì?), cũng buồn rầu thừa nhận: “Bất chấp sự thất bại về mặt triết học, chủ nghĩa lý thuyết logic tập hợp vẫn thống trị nền triết học toán học ngày nay”.
Thật vậy, bất chấp những lời trăng trối do chính Frege để lại, hậu thế vẫn tiếp tục đi theo vết xe đổ của ông. Đó là một hiện tượng kỳ quái, khó hiểu, và có thể là độc nhất vô nhị trong lịch sử khoa học nói chung và toán học nói riêng. Để “giải mã” hiện tượng kỳ quái đó, có người vội đặt dấu hỏi nghi vấn: Phải chăng trong di sản của Frege vẫn có cái hay cái đẹp đáng bắt chước, vì thế mới có “chủ nghĩa Frege mới”?
Xin trả lời ngay rằng KHÔNG!
Những ai còn nghĩ như thế thì chỉ chứng tỏ rằng người đó không biết gì về Frege, không biết gì về những lời trăng trối của Frege, không biết gì về lịch sử toán học thế kỷ 20, không biết gì về những bài học đã được rút ra từ lịch sử đó. Những người này có thể từng được coi là “giỏi toán”, có một vốn liếng toán học tiếp thu từ những thập kỷ cách đây vài chục năm, nhưng sau đó chỉ đem những vốn liếng đó ra hành nghề giảng dạy mà không chịu tiếp tục học hỏi mở mang thêm, không biết rằng thế giới đã thay đổi, đặc biệt từ cuối thế kỷ 20 cho đến nay, do đó vẫn tiếp tục “nằm trong chăn” để tụng niệm ngôn ngữ của Frege, coi đó là ngôn ngữ chân chính và duy nhất của toán học, và do đó vô tình tiếp tục nuôi dưỡng Chủ Nghĩa Hình Thức.
Với những người mê ngủ đó, cần phải gõ lên tiếng kẻng báo động: Chủ Nghĩa Hình Thức đã lỗi thời rồi, thậm chí đã chết rồi, chỉ còn cái “bóng ma” của nó vẫn cứ ám ảnh những nhà giáo dục mê ngủ mà thôi!
Thật vậy, cả Hilbert lẫn Frege đều đã bị chứng minh là nhầm lẫn. Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Gödel đã phủ nhận toàn bộ chương trình Hilbert, phủ nhận toàn bộ công trình hình thức hoá số học của Frege.
Kết luận trên có thể làm cho một số “học giả” dẫy nẩy lên phản ứng: Phủ nhận hình thức hoá là phủ nhận toán học, vì hình thức hoá là một phương tiện không thể thiếu của toán học, nhờ hình hức hoá mới có toán học ngày nay, chẳng hạn, nếu không hình thức hoá thì làm gì có số ảo i = , làm gì có lý thuyết số phức, làm gì có khoa học logic, và do đó làm gì có khoa học computer ngày nay, v.v. Vậy phủ nhận hình thức hoá tức là chống lại toán học, chống lại khoa học (!).
Với những “học giả” đó, cần phải nhắc lại điệp khúc “biết rồi, khổ lắm, nói mãi”, và đặc biệt, phải trích ý kiến của Reuben Hersh trong cuốn “Thực ra Toán Học là gì?” (đã dẫn). Hersh viết:
Logic là gì? Phải chăng đó là những quy luật tư duy chính xác? Kinh nghiệm thường ngày và những nghiên cứu phong phú của các nhà tâm lý học cho thấy phần lớn tư duy của chúng ta không tuân theo logic. Từ đó suy ra rằng, hoặc phần lớn tư duy của con người là sai, hoặc logic chỉ tác động trong một phạm vi quá hẹp. Computers chính là những chiếc máy tuân thủ logic, đó chính là câu trả lời! Logic là những quy tắc của máy tính! Logic cũng áp dụng cho con người khi con người cố gắng biến mình thành những chiếc máy tính!
Xin nói rõ thêm: Bài viết này không phản đối nhu cầu hình thức hoá trong nghiên cứu toán học, nhưng phản đối việc hình thức hoá, máy móc hoá, chương trình hoá bộ não của học sinh! Học sinh là con người chứ không phải những chiếc máy tính, đúng như Hersh đã nói! Xin đừng cố gắng biến học sinh thành máy tính! Xin các nhà giáo dục hiểu cho rằng đối tượng của giáo dục là con người chứ không phải những chiếc máy! Nghệ thuật của sư phạm có những đặc điểm riêng mà một người “giỏi toán” có thể không hiểu, bởi vì bản chất của giáo dục là KHAI TÂM chứ không phải là nhồi nhét kiến thức! Ngay cả đối với sinh viên đại học chứ đừng nói tới học sinh, việc khai tâm vẫn quan trọng hơn khai trí, bởi vì một khi tâm đã động thì học sinh và sinh viên có thể tự học, tự nghiên cứu, tự mở mang, và sẽ trở thành một trí thức chân chính, trong khi những con vẹt được điểm 10 trong thi cử sẽ chỉ trở thành những chiếc máy tính loại xoàng. Rất tiếc là lối dạy học nhồi nhét hình thức ngày nay chủ yếu chỉ tạo ra những con vẹt nhiều hơn là những trí thức chân chính!
4] Thay lời kết:
Riêng Frege, không cần đợi đến khi Định Lý Bất Toàn ra đời, ông đã thay đổi quan điểm, tự ông đã phê phán tính hão huyền của Chủ Nghĩa Hình Thức. Tại sao bỗng nhiên Frege thay đổi, và Frege đã thay đổi như thế nào? Đó là một bí mật lý thú cần phải làm sáng tỏ, và sẽ được làm sáng tỏ.
Rất tiếc là nhiều nhà giáo dục hiện nay đang bắt chước Frege lại không hề biết điều đó, và do đó họ không ý thức được rằng việc ra sức nhồi nhét vào đầu trẻ em những khái niệm trừu tượng xa rời thực tiễn không những chứng tỏ sự thiếu hiểu biết về lịch sử toán học, đồng thời còn tỏ ra thiếu hiểu biết về nghệ thuật sư phạm.

Phạm Việt Hưng

---

[1] L’homme est un roseau, le plus faible de la nature, mais c’est un roseau pensant.
[2] Je pense, donc je suis.
[3] Định lí Bất toàn (Theorem of Incompleteness): Giới hạn của nhận thức
[4] “Chiếc Chén Thánh” (The Holy Grail) là một thuật ngữ có nghĩa đen là chiếc ly Chúa Jesus đã dùng trong bữa tiệc cuối cùng với các môn đệ trước khi Chúa bị hành hình. Nhưng thuật ngữ này thường được dùng trong nền văn hoá tây phương với nghĩa bóng, ám chỉ những khát vọng có thể rất thiêng liêng, vĩ đại, nhưng quá xa vời, rất khó với tới, thậm chí không bao giờ với tới.
[5] Trích “L’enseignement mathématique”, Henri Poincaré, 1899
[6] Xem “What is Mathematics, Really?”, Reuben Hersh, Chapter 7, Immanuel Kant
[7] Xem thêm: “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng tháng 08-2002.
[8] Giáo sư danh dự Đại học New Mexico, nổi tiếng vì những công trình triết học toán học, từng đoạt Giải Thưởng Sách Quốc Gia Mỹ năm 1983 nhờ cuốn “Mathematical Experience”. Cuốn “What is Mathematics, Really?” được đánh giá là một “outstanding book” (một cuốn sách nổi bật) của năm 1998.