Phạm trù và đồng luân (2)-NGÔ BẢO CHÂU

GS Ngô Bảo Châu

Phải thừa nhận là “Phạm trù và đồng luân (1)” rất khó hiểu, không chỉ đối với người đọc mà cả đối với người viết

Tôi đã mắc khuyết điểm là kéo bạn đi quá nhanh, đi từ những cái bạn biết là không gian tô pô, ánh xạ liên tục đến những chỗ mà cả bạn lẫn tôi và thực ra cả nhân loại chưa hiểu rõ, đó là đồng luân cấp cao.

Bây giờ là lúc bạn nhẩn nha quay chậm lại cuộn phim để níu kéo lại một chút gì hữu hình cho bạn. Bạn có một không gian tô pô ${X}$ . Bạn xét các điểm của ${X}$ , rồi xét các đoạn thẳng trong ${X}$ tức là các ánh xạ liên tục ${[0,1] \rightarrow X}$ , rồi các hình vuông trong ${X}$ tức là các ánh xạ liên tục ${[0,1]^2 \rightarrow X}$ , rồi hình vuông ba chiều (lập phương), rồi hình vuông ${n }$ chiều.

Cố định một điểm qui chiếu ${x\in X }$ . Nhóm cơ bản ${\pi_1(X,x )}$ là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) các đoạn thẳng xuất phát và kết thúc tại điểm ${x }$ , tức là ánh xạ ${f:[0,1] \rightarrow X }$ với ${f(0)=f(1)=x}$ . Nói cách khác thì $f$ là một ánh xạ liên tục từ hình tròn ${S^1}$ vào ${X }$ . Khi bạn buộc hai đầu mút của đoạn ${[0,1]}$ lại với nhau, nó trở thành cái gì đó giống như hình tròn.

Phần tử đơn vị của ${\pi_1(X,x)}$ là lớp của ánh xạ hằng ${e:[0,1] \rightarrow X }$ với ${e(\alpha)=x }$ với mọi ${\alpha \in [0,1]}$ . Đồng luân của ${e}$ với chính nó là một ánh xạ liên tục ${f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow X }$ nhận giá trị ${x}$ trên biên của hình vuông. Nói cách khác ${f}$ là một ánh xạ liên tục từ mặt cầu ${S^2}$ vào ${X }$ . Tưởng tượng hình vuông như một cái mù soa, khi bạn buộc biên của mù soa lại, nó trở thành cái gì đó giống như mặt cầu. Như vậy nhóm đồng luân cấp hai ${\pi_2(X,x)}$ là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục ${S^2 \rightarrow X}$ gửi một điểm qui chiếu của mặt cầu (nơi biên của hình vuông chập lại) lên điểm qui chiếu ${x}$ của ${X}$ .

Chiều ba thì khó tưởng tượng hơn nhiều. Khi bạn “buộc” biên của hình lập phương lại thành một điểm, nó trở thành mặt cầu ba chiều ${S^3}$ . Tất nhiên là khó tưởng tượng rồi, vì cả tôi và bạn đều chưa “nhìn” thấy mặt cầu ba chiều bao giờ. Nhưng dù sao bạn đã có đủ cơ sở đển tin rằng nhóm đồng luân ${\pi_n(X,x)}$ là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục từ mặt cầu ${n}$ chiều ${S^n }$ vào ${X }$ , gửi một điểm qui chiếu trên mặt cầu lên điểm qui chiếu ${x }$ của ${X}$ .

*****

Trong cái “phạm trù” nhắc đến trong bài trước, vật là các điểm của ${X}$ , mũi tên là các đoạn thẳng trên ${X}$ , mũi tên cấp 2 là các hình vuông trên ${X}$ … Nhưng bạn còn chưa xét kỹ làm thế nào có thể hợp thành hai đoạn thẳng, hai hình vuông …

Bạn dễ hình dung cách hợp thành hai đoạn thẳng mà đoạn sau xuất phát nơi đoạn trước kết thúc. Cho ${f_1:[0,1]\rightarrow X}$ với ${f_1(0)=x}$ , ${f_1(1)=y}$ và ${f_2:[0,1] \rightarrow X }$ với ${f_2(0)=y }$ , ${f_2(1)=z}$ . Bạn có thể dựng ${f=f_2 \circ f_1}$ bằng cách chia đoạn ${[0,1]}$ thành hai phần ${[0,1/2]}$ và ${[1/2,1]}$ ; trên ${[0,1/2]}$ bạn dùng ánh xạ ${\alpha \mapsto f_1(2\alpha)}$ , trên đoạn ${[1/2,1 ]}$ bạn dùng ${\alpha \mapsto f_2(2\alpha -1)}$ chẳng hạn. Bạn chột dạ và cảm thấy bất ổn vì có quá nhiều cách hợp thành tương tự như thế ; chẳng hạn như bạn hoàn toàn có thể chia đoạn ${[0,1]}$ thành hai đoạn ${[0,1/3]}$ và ${[1/3,1]}$ , hoặc thậm chí bạn có thể chọn hai đoạn bất kỳ trong ${[0,1]}$ không có giao, sau đó dùng ${f_1}$ trên đoạn thứ nhất rồi dùng ${f_2}$ trên đoạn thứ hai. Bạn có thể tự chấn an rằng cách đầu tiên có vẻ cân đối nhất nên bạn dùng cách đó mà bỏ qua tất cả các cách hợp thành khác. Thực tế là vẫn không ổn, dù có chọn cách nào thì ${(f_1 \circ f_2) \circ f_3}$ cũng khác với ${f_1 \circ (f_2 \circ f_3)}$ . Đến đây thì bạn cảm thấy hoang mang thực sự : phạm trù này là loại phạm trù gì khi tiên đề quan trọng nhất là tính kết hợp không được thỏa mãn.

Chìa khóa để xua tan sự hoang mang của bạn là : mọi cách hợp thành được nêu ở trên đều tương đương đồng luân với nhau. Nếu bạn thay ánh xạ bằng lớp ánh xạ theo quan hệ tương đương đồng luân, phép hợp thành được xác định một cách duy nhất và tiên đề về tính kết hợp được thỏa mãn. Bạn thở phào, may quá ${\pi_1(X,x)}$ vẫn là một nhóm.

Bạn đã đủ dũng cảm để hợp thành mũi tên cấp hai chưa. Tôi thì chưa. Tôi chỉ đủ dũng cảm để nghĩ đến các phần tử của nhóm ${\pi_2(X,x)}$ . Mỗi phần tử là một lớp tương đương đồng luân ánh xạ liên tục từ hình vuông ${[0,1]^2}$ vào ${X }$ , nhận giá trị ${x}$ trên biên của hình vuông. Để hợp thành, tôi khoét trong hình vuông, hai hình vuông nhỏ hơn, không giao nhau. Nếu có hai ánh xạ từ hình vuông vào ${X}$ nhận giá trị ${x}$ trên biên, tôi sẽ co chúng lại thành ánh xạ trên hai hình vuông nhỏ rồi thác triển ra toàn bộ hình vuông to bằng cách đặt giá trị ${x}$ lên mọi điểm nằm ở ngoài hai hình vuông nhỏ mà tôi đã khoét. Dĩ nhiên cách hợp thành của tôi phụ thộc vào vị trí của hai hình vuông nhỏ trong hình vuông to, nhưng vì bạn có thể di chuyển thỏa thích hia hình vuông nhỏ trong hình vuông to, hai cách hợp thành khác nhau thực ra tương đương đồng luân với nhau. Như vậy phép hợp thành trong ${\pi_2(X,x)}$ được xác định một cách duy nhất và tiên đề về tính kết hợp được thỏa mãn.

Bạn bất chợt hỏi tôi : cái gì sẽ xảy ra nếu bạn di chuyển hình vuông con thứ nhất vào vị trí của hình vuông con thứ hai và hình vuông con thứ hai về vị trí của hình vuông con thứ nhất sao cho trong quá trình di chuyển, hai hình không bao giờ giao nhau. Tôi nói rằng hoan hô, bạn vừa chứng minh rằng nhóm ${\pi_2(X,x)}$ là một nhóm giao hóan. Mọi nhóm đồng luân cấp cao ${\pi_n(X,x)}$ với ${n\geq 2}$ đều là nhóm giao hoán.

Nhưng bạn cũng đừng chủ quan mà cho rằng vì chũng là nhóm giao hoán nên chắc dễ. Nếu bạn xác định được đồng luân cấp cao của mặt cầu ${S^2}$ , sẽ có rất nhiều người ngả mũ chào bạn.

NGUYỄN VĂN PHÚC

10 August 2014

23 May 2014

21 May 2014

05 May 2014

15 November 2015

15 November 2015

15 November 2015

10 August 2014

10 August 2014

10 August 2014

10 August 2014

10 August 2014

10 August 2014

23 May 2014

21 May 2014

05 May 2014

15 November 2015

15 November 2015

15 November 2015

10 August 2014