Manifold Destiny - Bài toán huyền thoại (3)

Manifold Destiny - Bài toán huyền thoại (3)

Giới hạnThứ tư, ngày 06 tháng mười năm 2010

• Phần 1: “Có lẽ chẳng bao lâu nữa, Trung Quốc sẽ dẫn đầu cả trong Toán học.”

 

• Phần 2: Grigory Perelman quả là một người cô độc.

Kể từ khi được Henri Poincaré xác lập hơn một trăm năm trước, gần như năm nào người ta cũng công bố các lời giải của Giả thuyết Poincaré. Poincaré là cháu của Raymond Poincaré, Tổng thống Pháp thời Thế chiến I, và là một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ 19. Dáng mảnh dẻ, mắc chứng cận thị, và nổi tiếng là đãng trí, ông đã bài toán nổi tiếng của mình vào năm 1904, tám năm trước khi ông qua đời, và đã bao gồm nó như một câu hỏi phụ vào cuối một bài viết dài 65 trang.

Chính bản thân Poincaré cũng đã không giải quyết được nhiều trong việc chứng minh giả thuyết này. Ông viết, “Cette question nous entraînerait trop loin” (“Câu hỏi này sẽ đưa chúng ta đi quá xa”). Ông là người sáng lập ra môn hình học topo , hay còn được biết đến dưới tên "môn hình học tấm cao su", do trọng tâm của ngành là những đặc tính nội tại của không gian. Từ góc nhìn của một nhà hình học topo thì không có sự khác biệt giữa một cái bánh bagel và một cốc cà phê có quai cầm. Cả hai thứ này đều có một cái lỗ và có thể được biến đổi sao cho cái này trở nên giống cái kia mà không cần phải cắt hay xé. Poincaré sử dụng khái niệm "manifold" (đa dạng) để miêu tả một không gian topo trừu tượng như vậy. Một manifold hai chiều đơn giản nhất có thể có là bề mặt của một quả bóng đá mà đối với một nhà hình học topo thì vẫn là một hình cầu ngay cả khi nó đã bị dẫm bẹp, kéo căng, hay xoắn gập. Bằng chứng rằng một vật thể như vậy là một lưỡng cầu tạm gọi, do nó có thể mang bất kể hình thù gì, là do nó "đơn giản là được kết nối", có nghĩa là không có lỗ chọc thủng nó. Không giống như một quả bóng đá, một cái bánh bagel không phải là một hình cầu thực sự. Nếu bạn buộc một nút thòng lọng (slipknot) vào một quả bóng đá, bạn có thể dễ dàng thắt nút trượt trên bề mặt của quả bóng. Nhưng nếu bạn buộc dây thòng lọng quanh một cái bánh bagel xuyên qua cái lỗ ở giữa thì bạn không thể thắt chặt nút mà không xé toạc cái bánh ra.

Tới giữa thế kỷ 19 người ta đã hiểu rõ về những manifold hai chiều. Nhưng những gì đúng cho hai chiều có đúng cho ba chiều không lại là điều người ta chưa rõ. Poincaré đưa ra giả thuyết rằng tất cả những manifold 3 chiều, đóng, kết nối đơn giản, những cái không có lỗ và hữu hạn thì đều là khối cầu. Giả thuyết này quan trọng tiềm năng cho những nhà khoa học nghiên cứu manifold lớn nhất được biết là vũ trụ. Tuy vậy, chứng minh giả thuyết này bằng toán học hoàn toàn không dễ. Phần lớn các cố gắng đều kết thúc tồi, nhưng một vài nỗ lực cũng đã dẫn đến những phát kiến toán học quan trọng bao gồm các lời giải Bổ đề Dehn (Dehn’s Lemma), Định đề Khối cầu (Sphere Theorem), và Định đề Thòng lọng (Loop Theorem).

Đến khoảng những năm 1960, hình học topo đã trở nên một trong những lĩnh vực năng suất cao nhất của toán học, và các nhà hình học topo trẻ liên tục tấn công Giả thuyết Poincaré. Điều làm cho đa số các nhà toán học phải ngạc nhiên là phát hiện rằng các manifold 4, 5, và nhiều chiều hơn có thể được chứng thực dễ dàng hơn là những manifold 3 chiều. Đến năm 1982, giả thuyết của Poincaré đã được chứng minh trong mọi chiều ngoại trừ chiều thứ 3. Vào năm 2000, Viện Toán Clay, một quỹ tư nhân hỗ trợ nghiên cứu toán học, đã gọi Giả thuyết Poincaré là một trong 7 bài toán chưa giải quan trọng nhất trong toán học và đã đưa ra giải thưởng một triệu đô la cho bất kỳ ai có thể chứng minh được nó.

“Cả đời làm toán của tôi bị giả thuyết Poincaré chiếm dụng,”, John Morgan, trưởng khoa toán đại học Columbia nói, “Tôi chẳng bao giờ nghĩ là sẽ có lúc tôi được nhìn thấy một lời giải. Tôi cứ nghĩ chẳng ai có thể động được đến nó.”Edit