Giả tinh thể

Giả tinh thể

Cao Chi

Sự phát hiện ra giả tinh thể (QC-quasicrystal) là một thành tựu khoa học xuất sắc xuất phát từ một tư duy mới mẻ gây nhiều ấn tượng và bất ngờ được tìm thấy là gắn liền với toán học và nghệ thuật trang trí thời trung cổ.

QC thực hiện một loại trật tự tầm xa chưa được biết đến trước đây ( có đối xứng quay định xứ mà không có đối xứng tịnh tiến trong toàn cục). Nhiều lý thuyết và ứng dụng QC đang phát triển một cách mạnh mẽ.

Sáng ngày 8 tháng 4 năm 1982 Dan Shechtman trong khi nghiên cứu hợp kim aluminium + manganese đã nhìn thấy trong hình nhiễu xạ (diffraction) những vòng tròn với 10 điểm sáng cách đều nhau (hình 1). Nếu hình chứa 4 hoặc 6 điểm sáng thì chấp nhận được song 10 điểm thì dường như trái với các quy luật của tinh thể học.

Hình nhiễu xạ chứng tỏ rằng các nguyên tử trong hợp kim được sắp xếp có trật tự. Song hình nhiễu xạ với 10 điểm sáng là điều chưa thấy bao giờ, không có trong tài liệu Các bảng hướng dẫn tinh thể học quốc tế (International Tables for Crystallography – the main crystallographic reference guide).

Dan Shechtman, Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ Quốc gia, Mỹ (NIST-U.S. National Institute of Standards and Technology), trước tu nghiệp tại Viện Công nghệ Technion Israel (Technion – Israel Institute of Technology), được tặng giải Nobel Hóa học 2011 vì đã tìm ra giả tinh thể (QC-Quasicrystal)[1]. Những nguyên tử trong QC mà Shechtman nghiên cứu đã trình diễn một đối xứng vốn chưa tồn tại trong tinh thể học.

Khi Shechtman quay mẫu chiếu theo nhiều hướng thì ông tìm thấy mẫu chiếu có đối xứng bậc 5 (5-fold symmetry-5 mặt gặp nhau tại mỗi đỉnh)^[2] của khối 20 mặt (icosahedron), (hình 2).

Như vậy Shechtman đã tìm ra một vật liệu vi phạm các định lý cổ điển về tinh thể học. Trong tinh thể tồn tại những tế bào đơn vị (unit cell) chiếm đầy một cách đều đặn và có chu kỳ tất cả không gian. Một tinh thể không thể có đối xứng điểm bậc 5. Trong không gian 2D với hình 5 góc ta không thể phủ kín mặt phẳng mà không có khe hở (hình 3)^[3].

Một đặc trưng quan trọng của tinh thể là tập 230 nhóm không gian (Fedorov, Barlow & Schoenflies) mô tả các đối xứng quay và tịnh tiến. Trong số các đối xứng quay chỉ có các đối xứng bậc 2, 3, 4 & 6 là tương hợp với đối xứng tịnh tiến còn các đối xứng quay bậc 5, 7 và cao hơn là không tương hợp.

Mọi người đều biết rằng tinh thể là những vật rắn với những tế bào đơn vị đồng nhất với nhau sắp xếp trong một cấu trúc có chu kỳ.

Trong các tinh thể thì tế bào đơn vị chỉ có thể là các khối lập phương, khối tứ diện (tetrahedron), khối bát diện (octohedron).

Trước đây các nhà vật lý cho rằng khối 20 mặt (icosahedron) không có ý nghĩa đối với tinh thể học. Vì khối này có đối xứng bậc 5 (5 mặt gặp nhau tại mỗi đỉnh), do đó không thể là tế bào đơn vị cho tinh thể vì không thể dùng khối 20 mặt để lấp đầy không gian mà không còn khe hở.

Hình1 . Bên trái: hình nhiễu xạ do Shechtman thu được. Bên phải: ánh sáng đi qua một lưới nhiễu xạ, các sóng hình thành giao thoa với nhau cho ta hình nhiễu xạ.

Hình 2 .Khối 20 mặt. Trong hình học khối 20 mặt là một khối đa diện đều với 20 mặt hình tam giác đều, 30 cạnh và 12 đỉnh. Khối này là một trong 5 khối rắn Plato.

Hình 3. Nếu phủ mặt phẳng bằng những hình ngũ giác thì xuất hiện những khe hở.

Trước Shechtman người ta quan niệm rằng một hệ vật lý có trật tự tầm xa (long-rang order) nhất thiết phải có chu kỳ.

QC do Shechtman tìm ra có một trật tự không có chu kỳ (không có đối xứng tịnh tiến -translational symmetry), điều này có nghĩa rằng khi dịch chuyển tịnh tiến thì hình mẫu có được không trùng với hình mẫu ban đầu. Chính nhờ đối xứng tịnh tiến mà trong tinh thể thông thường tế bào đơn vị được sắp xếp đều đặn và có chu kỳ.

Để bênh vực những kết quả của mình Shechtman có nguy cơ phải rời bỏ nhóm nghiên cứu vì bị đồng nghiệp trong nhóm phản đối. Shechtman gửi một bài báo về phát hiện của mình đến Journal of Applied Physics song bị tòa soạn từ chối. Tuy nhiên các kết quả khác thường của Shechtman lại được John Cahn và nhà tinh thể học người Pháp Denis Gratias ủng hộ. Tiếp theo một bài báo của các tác giả Shechtman, Cahn, Blech và Gratias được công bố trên Physical Review Letter [4]. Bài báo này là một quả bom đối với cộng đồng tinh thể học.

Đối xứng ở đây là đối xứng điểm bậc 5 song không có đối xứng tịnh tiến.

Vậy các nguyên tử đã được sắp xếp như thế nào?

Dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci là dãy các số hạng sau:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,..
với quy luật: mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đứng trước, ví dụ 5=2+3, 8=5+3,... 144=55+89.

Nếu chia một số hạng lớn trong dãy với số đứng trước ta có ví dụ 144/89=1,61797752... ≈ 1,618 thương số này gần tỷ số vàng tau τ (tỷ số vàng-golden ratio)=(√5+1)/2= (2,236067977...+1)/2 =1,618...,

Tỷ số này sở dĩ được gọi là tỷ số vàng vì được xem như một tỷ số giữa các kích thước có khả năng gây nên một hiệu ứng hài hòa trong nghệ thuật.

Trong QC trật tự có quy luật tương tự như quy luật trong dãy Fibonacci và không có đối xứng tịnh tiến tương tự như trong dãy Fibonacci không có số hạng trùng nhau.

Dãy Fibonacci là một dãy không bao giờ lặp lại, tuân theo một quy tắc toán học. Tương tự như vậy tỷ số các khoảng cách khác nhau giữa các nguyên tử trong một QC liên quan đến dãy Fibonacci và đến số τ .

Các nguyên tử được xếp theo một trật tự, song trật tự đều đặn này không giống như trong tinh thể vì trong tinh thể thì trật tự này có chu kỳ.

Hình ghép (mosaic) Penrose và những hoa văn thời Trung cổ

Như trên đã nói shechtmanite (tức QC do Shechtman tìm ra) có đối xứng bậc 5 và như ta đã thấy đối xứng này không cho phép thiết lập một lưới phủ đầy không gian mà không có khe hở.
Giữa năm 1970 giáo sư toán học người Anh Roger Penrose tìm ra một hình ghép không có chu kỳ tịnh tiến (aperiodic) bằng cách sử dụng 2 hình thoi gọi là hình thoi béo và hình thoi gầy (hình 4). Hai loại hình thoi có các góc trong là: 36&144 độ và 72&108 độ. Điều đáng ngạc nhiên là tỷ số giữa hai loại hình thoi đó bằng tỷ số vàng τ =1,618. Bởi vì đây là một số vô tỷ cho nên không thể nào cắt thành những tế bào đơn vị chứa một số nguyên mỗi loại hình thoi được.

Hình 4. Hình ghép Penrose là một hình với đối xứng điểm bậc 5 có trật tự tầm xa (long-range order) song không có chu kỳ tịnh tiến.

Trước đây hình ghép Penrose chỉ được xem như một điều kỳ lạ toán học mãi đến khi Shechtman phát hiện ra QC với đối xứng bậc 5 sau 20 năm người ta mới hiểu được ý nghĩa của nó.

Ngoài mô hình ghép của Penrose còn có nhiều mô hình ghép khác như hình ghép tổng quát Penrose (Generalized Penrose Tilings) hay hình ghép 5 góc Penrose (Pentagonal Penrose Tiling) sử dụng các hình ngũ giác thay vì các hình thoi.

Trong trường hợp 3 chiều (3D) chúng ta có hình ghép 3D của Penrose làm thành bằng những khối có 6 mặt hình thoi (rhombohedrons) vào chỗ các hình thoi (rhombus) của trường hợp 2D.

QC có trật tự tầm xa song không có chu kỳ tịnh tiến, thay vào đó có đối xứng tự đồng dạng theo kích thước ( self-similarity by scaling), (hình 5).

Hình 5. Tự đồng dạng theo kích thước. Kích thước tuyến tính giữa các hình ngũ giác là τ còn kích thước giữa diện tích là τ 2.

Lưới phủ của Penrose giúp các nhà nghiên cứu nghệ thuật hiểu được các hình ghép (mosaic) trang trí các nhà thờ đạo Hồi thời Trung cổ và phát hiện rằng các nghệ sĩ Ả Rập đã thực hiện được các hình ghép không chu kỳ (aperiodic). Những mosaic như vậy được tìm thấy ở lâu đài Alhambra (Tây Ban Nha) và trên những cổng vào, những mái vòm của đền Darb-i-Imam ở Iran, (hình 6).

Hình 6. Một hình ghép QC của Penrose trong đền thờ phụng Darb-i Imam ở Isfahan, Iran, xây dựng năm 1453

Trong vẻ đẹp và sự phức tạp của các hình ghép trên tường của những kiến trúc đạo Hồi thời Trung cổ, các nhà khoa học đã bắt gặp những hình ghép chứng tỏ các nhà kiến trúc thời bấy giờ đã có một quan điểm đột phá trong toán học từ thế kỷ 15: họ đã tìm ra những hình ghép của QC.

Nhà tinh thể học Alan Mackay sử dụng hình ghép (mosaic) toán học của Penrose bằng cách thay các điểm tương giao trong hình ghép bằng các nguyên tử để có một lưới nhiễu xạ và từ đó thu được một hình nhiễu xạ với 10 điểm sáng. Steinhardt & Dov Levine nối liền kết quả của Mackay với kết quả Shechtman và thấy rằng mô hình Mackay tồn tại thực tế trong QC của Shechtman.

Danh từ giả tinh thể (QC-quasi crystal) xuất nguyên từ bài báo của Steinhardt & Levine, công bố năm 1984. Trong bài báo đó họ gọi “tinh thể” với hình nhiễu xạ không có chu kỳ (aperiodic mosaic) là giả tinh thể (quasicristal). Từ đó định nghĩa “tinh thể” được biến dạng như sau. Trước đây người ta có định nghĩa: tinh thể là một cấu trúc trong đó các thành phần nguyên tử, phân tử, ion được sắp xếp theo một trật tự đều đặn lặp lại trong 3 chiều.

Sau phát hiện của Shechtman “tinh thể” được định nghĩa lại như sau: tinh thể là một vật rắn có một hình nhiễu xạ gián đoạn đặc biệt.

Siêu không gian

Một bước phát triển quan trọng trong quá trình tìm hiểu QC là ý tưởng theo đó một QC trong 3D có thể xây dựng được nhờ phương pháp chiếu một mạng hoàn chỉnh của không gian 6 chiều (6D) xuống không gian con ba chiều (3D) ứng với không gian thực tại của QC.

Hermann chứng minh rằng một đối xứng không phải là đối xứng tinh thể (noncrystallographic) của một mạng 3D sẽ trở thành đối xứng tinh thể (crystallographic) nếu xét trong một siêu không gian nhiều chiều hơn.

Bởi vì QC mất tính chu kỳ (periodicity) ít nhất trong một chiều cho nên không thể mô tả QC trong không gian 3D như đối với tinh thể thông thường ^{[5a] [5b]}. Trong tinh thể thông thường ta có 3 chỉ số mô tả 3 chiều tịnh tiến. Đối với khối 20 mặt ta cần 6 chỉ số (chỉ số tổng quát hóa Miller). Trong siêu không gian nD, chúng ta có n vector trương một không gian đảo ngược n chiều (nD-reciprocal space, còn được gọi là không gian Fourier). Do đó cũng tồn tại một không gian trực tiếp n chiều (nD-direct space) trong đó một cấu trúc có thể xây dựng để phục hồi lại hình nhiễu xạ của QC nhờ một phép chiếu với một ma trận M chứa tỷ số vàng τ.

Nói một cách dễ hiểu trong không gian nhiều chiều đó ta có thể mô tả một cấu trúc không chu kỳ (quasiperiodic) của QC như là một cấu trúc có chu kỳ (periodic). Và cấu trúc thực tế của QC trong không gian 3D sẽ thu được nhờ một phép chiếu. Chỉ cần xác định một tế bào đơn vị trong cấu trúc nD.

Sau đây là một minh họa siêu không gian. Ví dụ ta muốn xây dựng một dãy 1D không có chu kỳ mô tả một QC.

Ta bắt đầu từ một mạng lưới 2D ( x,y)-đóng vai trò siêu không gian - gồm các hình vuông (xem hình 7). Ta nhúng vào không gian 2D một đường thẳng 1D (trên hình là đường V_e tức V_exterior), đóng vai trò không gian ngoài tức không gian thực tại của chúng ta. Ve làm với Vi hai không gian con trực giao với nhau, V_i gọi là không gian trong (V_i tức V_interior) ^[6]. Đường V_e làm một góc anpha với trục x và tananpha=số vô tỷ tau= 1,618 (tỷ số vàng). Lấy một dải trong không gian (V_e ,V_i). Trong dải đó có nhiều điểm của không gian (x,y). Ta chiếu các điểm đó xuống V_e, ta sẽ thu được một dãy không chu kỳ (xem đường V_e vẽ nằm ngang ở dưới cùng hình vẽ).

Hình 7. Dãy 1D không có chu kỳ được nhúng vào không gian 2D. Trong không gian 2D ta có một lưới với chu kỳ tịnh tiến.

Xét trường hợp lúc không gian ngoài là không gian 3D. Ta cần nhúng không gian này trong siêu không gian 6D làm bằng những khối siêu lập phương (hypercube) ứng với các hình vuông trong trường hợp 2D. Dùng ma trận M thích hợp chiếu các đỉnh của khối siêu lập phương xuống không gian ngoài 3D ta sẽ có các khối 20 mặt (icosahedron).

Tóm tắt bằng tranh

Giữa năm 1970, nhà toán học Roger Penrose chế tạo một hinh ghép không có chu kỳ (aperiodic mosaic), một hình vẽ không bao giờ lặp lại bản thân bằng cách sử dụng hai hình thoi (gọi là hình thoi béo và hình thoi gầy).

Năm 1982 Alan Mackay sử dụng hình ghép của Penrose trong đó đặt các nguyên tử vào các điểm tương giao trong hình ghép. Dùng mô hình đó Mackay thu được một hình nhiễu xạ có 10 điểm sáng.

Năm 1982 Dan Shechtman thu được một hình nhiễu xạ mâu thuẫn với logic các tinh thể. Shechtman phát hiện một hình nhiễu xạ của hợp kim aluminum và maganese (có được bằng cách làm lạnh đột ngột) với đối xứng bậc 5, một đối xứng vốn bị cấm trong tinh thể. Theo một hướng hình nhiễu xạ có 10 điểm sáng. Năm 1984 Paul Steinhardt & Dov Levine nối liền mô hình Mackay với kết quả của Shechtman và hiểu rằng hình ghép không chu kỳ có thể giải thích được các kết quả của Shechtman.

Các loại QC
Sau các kết quả của Shechtman nhiều phòng thí nghiệm đã tổng hợp được hàng trăm loại QC. Song mãi đến năm 2009 người ta mới tìm được trong thiên nhiên một loại khoáng sản ở sông Khatyrka, miền Đông nước Nga. Khoáng sản này gồm aluminum + đồng + sắt và được gọi là icosahedrite.
Sau đây liệt kê một số hợp kim QC thuộc loại icosahedral:
Al-Mn
Al-Mn-Si
Al-Cu-Fe
Al-Mg-Zn
Ti-TM (TM=Fe, Mn, Co, Ni)
Nb-Fe
V-Ni-Si
Pd-U-Si .

Một bài học quan trọng

Một trong những người trước đây chống đối Shechtman là nhà hóa học nổi tiếng Linus Pauling, đã hai lần đoạt giải Nobel (Hóa học 1954, Hòa bình 1962). Đây là một bài học thấm thía: các nhà khoa học cần phải có tinh thần sáng tạo không rơi vào giáo điều cũ, luôn tìm tòi những điều mới lạ và dũng cảm chống lại những điều tưởng chừng là chân lý đã được thiết lập.

Triển vọng

Quá trình phát hiện QC là một quá trình có nhiều yếu tố kịch tính, để lại nhiều bài học về tư duy sáng tạo trong khoa học. QC đã dẫn đến những phát hiện mới ^[7] trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học nano đến hóa học siêu phân tử (supramolecular chemistry)^[8]. Những siêu vật liệu photonic^[9] chế tạo trên cơ sở QC có thể một ngày nào đó thay thế các thiết bị bán dẫn trong công nghệ thông tin và truyền thông. Những mạng giả chu kỳ (quasiperiodic) có thể sử dụng trong spintronics^[10] và trong quang học biến đổi (transformation optics)^[11].

------------
Tài liệu tham khảo & chú thích
^[1] The Nobel Prize in Chemistry 2011 (Press Release, Popular Information, Advanced Information-Scientific Background).
^[2] Trong hình học có 5 hình khối Plato: 4 mặt, 6 mặt, 8 mặt, 12 mặt và 20 mặt. Nhà triết học Hy Lạp Plato đồng nhất 5 hình khối đó với 5 nguyên tố cơ bản của thiên nhiên là: lửa, đất, không khí, nước, ether.

^[3] David R.Nelson, Quasicrystal, Scientific American, số tháng 8/1986.
^[4] D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn (1984) “Metallic phase with long range orientational order and no translation symmetry”,
Physical Review Letters 53(20), pp 1951-1954.
^[5] a/ www.jcrystal.com/steffenweber (Steffen Weber, Introduction to Quasicrystals)
b/ www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_3/advanced/t3_1_5.html
^[6] Không gian trong Vi là không gian con (n-3)D của không gian nD. Làm thành không gian bù với không gian ngoài.
Không gian ngoài Ve là không gian con 3D của không gian nD ứng với không gian thực tại vật lý của chúng ta
^[7] Tushna Commissariat, Introducing the latest quasicrystal, Physicsworld
Nov 29, 2011.
^[8] Hóa học siêu phân tủ (supramolecular chemistry) không nghiên cứu trực tiếp các phân tủ mà nghiên cứu các hệ phân tử (xem các hệ như đơn vị hóa học), tiền tố supra có nghĩa là vượt quá.
^[9] Photonics là khoa học nghiên cứu bức xạ, truyền dẫn, điều biến (modulation), xử lý tín hiệu, khuếch đại, ghi đo, cảm biến của ánh sáng.
^[10] Spintronics lĩnh vực vật lý nghiên cứu ứng dụng spin electron ví dụ như trong MRAM (Magnetic Random Access Memory- RAM từ). Nếu xét sóng spin thì chúng ta có lĩnh vực gọi là Magnonics.
^[11] Quang học biến đổi là lĩnh vực hiện đại nghiên cứu thiết kế các thiết bị quang học.