Phạm trù và đồng luân (1)-NGÔ BẢO CHÂU

Người Ấn Độ day dứt từ ngàn năm với cái vòng luân hồi, làm cả thế giới day dứt theo. Không biết thì thôi, chứ biêt nay mai mình hóa ra con bọ biết bay thì thấy cũng lo lo. Nỗi lo luân hồi của các nhà tô pô cũng canh cánh không kém. Các ông ấy băn khoăn không biết thế giới này phải đồng luân mấy vòng thì mới thoát

Có ai đi hết mặt cầu
Đồng luân mấy nẻo về đâu thoát đời.

Bài toán làm các nhà tô pô đau đầu từ mấy chục năm nay là tính đồng luân mặt cầu. Cuộc đau đầu tập thể này vẫn đang tiếp diễn.

****

Bạn nối từ điểm đến điểm trên mặt giấy bằng một nét bút, thẳng cong tùy ý, gãy khúc cũng được, miễn là đầu bút không được rời khỏi mặt giấy. Trong ngôn ngữ toán học, một cung là một ánh xạ liên tục với từ đoạn thẳng đơn vị vào không gian tô pô mặt giấy có điểm đầu là và điểm cuối là . Tô pô là khái niệm toán học diễn đạt một cách chính xác khái niệm ánh xạ liên tục.

Không gian là liên thông nếu với mọi điểm , ta có thể băc một cung tình yêu từ điểm đến điểm . Thực ra, trong tô pô, người ta gọi thuộc tính này là liên thông theo cung, để dành chữ liên thông cho một thuộc tính hao hao. Nói chung, trong tất cả các không gian ta thường gặp, liên thông và liên thông theo cung là tương đương nhau, và ta không dại gì mà không tự hạn chế vào trường hợp đó.

Bắc cung từ điểm nọ sang điểm kia xác định một quan hệ tương đương trên không gian . Tập các lớp tương đương gọi là tập các thành phần liên thông của . Hai điểm nằm trong cùng một thành phần liên thông thì có thể nối với nhau, hai điểm nằm trong hai thành phần liên thông khác nhau thì không.

Tập các thành phần liên thông là bất biến thô sơ nhất, nhưng cũng là cơ bản nhất của không gian . Nhưng còn những bất biết tinh tế hơn nhiều, nhóm cơ bản , và các nhóm đồng luân cấp cao .

Để hiểu định nghĩa các nhóm đồng luân cấp cao, tốt nhất là dựa vào mấy khái niệm phạm trù, 2-phạm trù, 3-phạm trù … Đây là những khái niệm thậm trừu tượng, khó tiêu hóa, nhưng trong bối cảnh của đồng luân, chúng trở nên khá trực quan.

Thay cho hành động thô bạo lấy lớp tương đương, ta xét phạm trù với đối tượng là các điểm của và với ánh xạ từ đến là tập các cung nối từ đến . Hai đối tượng tương đương với nhau, nếu có ít nhất một ánh xạ rọi từ đối tượng này qua đối tượng kia. Ánh xạ là quan hệ giữa các đối tượng. Trong một phạm trù, quan hệ đóng vai trò quan trọng hơn đối tượng.

Vấn đề đồng luân nằm ở chỗ có quan hệ giữa các quan hệ. Cho là một ánh xạ liên tục. Khi đó ta nói cung khởi và cung kết là đồng luân với nhau.

Nếu thay vì các cung, ta xét các lớp tương đương các cung theo quan hệ đồng luân, thì ta có một phạm trù mới. Tập các tự đẳng cấu của trong phạm trù này là nhóm cơ bản . Nói một cách ngắn gọn hơn, là nhóm các lớp tương đương các cung từ vòng lại xét theo quan hệ đồng luân.

Thay cho hành động thô bạo lấy lớp tương đương các cung theo quan hệ đông luân, ta có thể xây thêm một tầng trừu tượng hơn nữa. 2-phạm trù không chỉ có vật, quan hệ, mà còn có quan hệ giữa hai quan hệ. Ở đây các 2-quan hệ laị được xét modulo tương đương đồng luân. Khi đó nhóm các 2-tự đẳng cấu của một cung nào đó chính là nhóm đồng luân bậc hai .

Tiếp tục với 3-phạm trù, ta định nghĩa được … và câu chuyện có thể tiếp diễn đến vô cùng.

Cuộc sống sẽ vô cùng đơn giản nếu ta chỉ cần định nghĩa, không cần tính toán cụ thể. Nhóm cơ bản nói chung có thể tính theo sự chỉ dẫn của Van Kampen. Nhóm cơ bản của đường thẳng thì bằng không trong khi nhóm cơ bản của đường tròn thì đẳng cấu với .

Các nhóm đồng luân cấp cao khó tính hơn nhiều. Đến bây giờ, người ta vẫn chưa biết làm thế nào tính được các nhóm đồng luân cấp cao của mặt cầu nhiều chiều.