Công thức Stokes - Một nét đẹp trong Toán học

Công thức Stokes - Một nét đẹp trong Toán học

Giới hạnThứ tư, ngày 01 tháng bảy năm 2009

Bài này* dịch từ bài viết của GS Michele Audin, lấy ở
http://math.cnrs.fr .

Tính thẩm mỹ

Ta có thể tìm thấy một công thức Toán học đẹp, có thẩm mỹ mà không cần phải hiểu ý nghĩa của nó. Cũng giống như việc ta thích nghe một bản công-xéc-tô cho violon mà không cần hiểu những ý tưởng hay quy tắc mà theo đó nó được soạn. Đây là một mẫu của dấu tích phân

với đường cong duyên dáng của nó, giống như chữ S của đàn violon

được ghép với những "phân số đẹp" của những ký hiệu hay mềm mại...

Công thức này được gọi là công thức Green hoặc công thức Green-Riemann. Một công thức khác có tên công thức Green-Ostrogradsky hoặc công thức Ostrogradsky :

mà tôi đã học ở cách đây rất lâu trong một khóa học về điện từ học : công thức này cho phép tính le flux d’un champ électrique (có lẽ dịch là : thông lượng của điện trường ) xuyên qua một mặt. Công thức này cũng chính là nội dung một định luật của Gauss.

Truyền thuyết kể lại rằng : những bản ghi chép được cho bởi Ostrogradsky đã giúp phủ kín tường của căn phòng trẻ con của một bé gái người Nga, người mà vẫn chưa được gọi là Sofia Kovalevskaya ... và sau trở thành một nữ toán học. Chắn chắn cô bé đã nghĩ ngợi khi nhìn những công thức đó. Chắc chắn cô thấy nó đẹp. Sự quen thuộc với những công thức mà cô không hiểu phải chăng đã ảnh hưởng đến sở thích Toán học của cô ?

Vào thời gian đó, George Gabriel Stokes, một người Anh, đã là một nhà Toán học rất nổi tiếng và được thừa nhận, giáo sư ở Cambridge, được phong Giáo sư giống như Isaac Newton đã giữ ở thời của ông... Đó là một nhà Toán học và là một nhà Vật lý. Ông chắc chắn đã nghĩ đến những công thức này. Tôi không biết ông đã viết chúng dưới dạng nào, nhưng chắc chắn nó giống như

Cái mà chúng ta ngày nay gọi là công thức Stokes được viết dưới dạng khá đơn giản :

Giản dị hơn nhiều, phải không ?

Nhân tiện nói thêm : Một trường hợp đặc biệt của công thức Stokes, cái đơn giản nhất :

Trong các nước anglo-saxon, người ta gọi công thức này là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Các trường trung học phổ thông chuyên của Pháp không gọi như vậy, nhưng học chúng vào cuối cấp.

Vẻ đẹp trừu tượng

Quay trở lại công thức Stokes với "". Một trong những đặc tính của công thức này chính là nó chứa tất cả những gì tôi đã viết ở trên. Đó cũng là một trong những vẻ đẹp của nó. Sự đơn giản và tính tổng quát. Để viết như vậy, cần phải tìm ra :

1. cái gì cho phép chuyển từ trong công thức Green đến trong công thức Stokes.
2. cái gì cho phép chuyển từ sang
3. và từ sang ...

Đó là Toán học của thế kỷ 20.

Vẻ đẹp của công thức, ít hào nhoáng hơn, bí mật hơn nhưng thực chất, trở nên trừu tượng hơn, dựa trên sự chuyển từ ở bên vế trái, sang ở bên vế phải.

*Ghi chú: Đây là bài dịch của 99 (Username của một bạn ở mathscope.org). Dịch giả có bỏ qua một số đoạn.