Giải tích không chuẩn mực (Non Standard Analysis)

Giải tích không chuẩn mực (Non Standard Analysis)

Giới hạnThứ sáu, ngày 04 tháng mười một năm 2011

Thế kỉ XX vừa qua là thế kỉ của những cuộc cách mạng mang tính toàn cầu. Đó là cách mạng trong khoa học công nghệ, cách mạng trong kinh tế toàn thế giới, cách mạng trong nhận thức, trong tư tưởng, văn hóa... Toán Học của thế kỉ XX cũng không phải là một ngoại lệ. Trong thế kỉ này hàng loạt tư tưởng mới mang tính đột phá đã xuất hiện, tạo nên những thay đổi trong trong việc nghiên cứu. Toán Học hiện đại đưa nó lên một tầm cao mới. Hòa vào cuộc cách mạng đó là sự ra đời của Giải Tích không chuẩn mực (Non Standard Analysis - NSA) .

Vào năm 1960, Abraham Robinson - giáo sư Toán thuộc Đại học Princeton - đã sử dụng lý thuyết mô hình (model theory) đề xuất một cách nhìn nhận các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, những cơ sở của khái niệm giới hạn, nền tảng của mọi khái niệm trong giải tích, như là các số lý tưởng, tức là các phần tử khổn phải là các số mà ta đã quen thuộc từ trước tới nay, nhưng tính chất của chúng là có thể lớn hơn hay bé hơn vô hạn so với mọi số thực (thông thường).

Ảnh: Nhà toán học Abraham Robinson

Đây là sự cụ thể hóa ý tưởng về các phần tử lý tưởng của G.W.Leibniz. Các số lý tưởng vô cùng lớn và vô cùng bé so với mọi số thực thông thường được kí hiệu tương ứng là i-lớn và i-nhỏ, với i là viết tắt của ideally (lí tưởng). Với cách nhìn như vậy trường số thực \mathbb{R} có thể mở rộng thành trường số *\math{R} mà ở đó tính Acsimet không thỏa mãn, tức là tồn tại những số "thực" a i-lớn sao cho *\math{R} mở rộng của trường số thực \mathbb{R}, gọi là trường số thực không chuẩn mực

Một cách hoàn toàn hợp logic, bây giờ ta có thể mở rộng Giải tích của chúng ta (tức là giải tích mà ta đã nghiên cứu từ trước đến nay) theo hướng mờ rộng như trường số thực. Ta gọi tất cả các đối tượng toán học đã biết từ truớc đến nay, tức là những đố tượng toán học đã được định nghĩa theo một cách duy nhất nào đó gọi là chuẩn mực, thêm vào đó ta đưa ra các đối tượng không chuẩn mực, ví dụ các số không chuẩn mực, các khoảng không chuẩn mực, ví dụ:

• Hàm số ln{x} là một hàm chuẩn mực với mọi \mathbb{R}

• Khoảng (\epsilon,a) là một khoảng không chuẩn mực, với \epsilon là một số i-nhỏ, ngoại trừ số 0 (đã là số i-nhỏ chuẩn mực duy nhất)

Lúc đó mở rộng của Giải tích Toán Học được gọi là Giải tích không chuẩn mực (NSA). Các số lí tưởng đã là không chuẩn mực trong NSA và ta chỉ đuợc ra rằng luôn tồn tại các phần tử không chuẩn mực trong một tập hợp chứa vô hạn phần tử. Trong giải tích không chuẩn mực, ta xây dựng hệ thống các phép toán, hệ thống tiên đề (mở rộng hệ tiên đề của lý thuyết tập hợp cổ điển) và các nguyên lí, từ đó phát biểu các khái niệm không chuẩn mực: khái niệm nội giới, ngoại giới (internal, external), khái niệm bóng (shadow) của một đối tượng toán học, hào quang (halo) và thiên hà (galaxy)..... Ta có thể hiểu một cách đơn giản rằng Giải tích không chuẩn mực được xây dựng dựa vào việc không sử dụng khái niệm giới hạn để định nghĩa các khái niệm mà thay vào đó là các khái niệm không chuẩn mực i-nhỏ, i-lớn, i-gần, cùng hệ tiên đề mở rộng của nó.


Từ hệ thống những khái niệm. người ta có thể phát biểu những định nghĩa, tính chất của giải tích thông thường (gọi là giải tích chuẩn mực) và những chứng minh của chúng theo ngôn ngữ không chuẩn mực. Xét một cách tổng thể, giải tích không chuẩn mực là một mở rộng bảo toàn của giải tích chuẩn mực hiểu theo nghĩa những gì đúng đắn trong giải tích chuẩn mực vẫn đúng trong giải tích không chuẩn mực, đồng thời giải tích không chuẩ mực không đưa ra bất kì một tính chất hoàn toàn chưa có trong giải tích chuẩn mực. Mọi sự mở rộng đều nhằm mục đích cho ta thấy được sự khác nhau giữa những hiện tượng toán học mà ta không thể thấy được với cách nhìn của giải tích chuẩn mực, cũng như việc xem tivi đen trắng (giải tích chuẩn mực) và tivi màu (giải tích không chuẩn mực) đối với cùng một hinhg ảnh như nhau. Một ví dụ cụ thể là trường số thực, khi nhìn dưới góc độ chuẩn mực thì mọi số đều bình đẳng, nhưng khi xem xét dưới con mắt không chuẩn mực thì trường số thực \mathbb{R} được chia thành ba lớp khác nhau: các số i-nhỏ, các số thực khác 0 thông thường và các số i-lớn.

Kể từ khi được phát minh đến nay, Giải tích không chuẩn mực đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học hiện đại như: giải tích phức, lí thuyết phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng, lí thuyết tích phân và độ đo, lí thuyết sác xuất và các quá trình ngẫu nhiên......... Trong mỗi lĩnh vực, giải tích không chuẩn mực đã đạt được những thành tựu đáng kể. Mặc dù ta đều biết rằng Giải tích toán học không cần phải chờ đến sự xuất hiện của giải tích không chuẩn mực mới phát triển được, nhưng với ngôn ngữ không chuẩn mực các nhà toán học có một công cụ mới làm cho công việc xây dưgnj các tính chất và chứng minh chúng bớt đi tính nhàm chán. Bên cạnh việc đơn giản hóa các phép chứng minh (chỉ cần vài dòng sử dụng hệ tiên đề không chuẩn mực là ta có thể thay thế cho phép chứng minh có thể tới hàng trang giấy), giải tích không chuẩn mực còn giúp ta tiếp cận vấn đề theo một hướng mới (gọi là phương pháp tiếp cận vô cùng nhỏ - infinitesimals approach), qua đó đạt được những kết quả đẹp đẽ, thú vị, mang đến cho Toán Học những màu sắc mới, đa dạng phong phú, xứng đáng là đòn bẩy cho các ngành khoa học khác

Dư Đức Thắng (GV ĐHKHTN ĐHQG Hà Nội)

Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ tháng 10 năm 2005, số 340