Nghịch lý Russell (Russell’s Paradox)

Nghịch lý Russell (Russell’s Paradox)

Giới hạnChủ nhật, ngày 19 tháng mười hai năm 2010

Russell chia tập hợp thành hai loại:

• Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.
• Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Dễ thấy tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.

Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là Tập hợp của tất cả các tập thông thường. Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lý thú:
Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?
Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là Tập Russell.

Khi đó, câu hỏi của Russell sẽ là:

Tập Russell là một tập thông thường hay lạ thường?
Giả sử Tập Russell là tập thông thường, lập tức suy ra nó là một phần tử của chính nó (vì Tập Russell chứa tất cả các tập thông thường). Nhưng nếu nó là một phần tử của chính nó thì nó phải là tập lạ thường, vậy Tập Russell là tập lạ thường, mâu thuẫn với giả thiết!
Giả sử ngược lại cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại:
· Nếu Tập Russell là tập thông thường thì nó sẽ là tập lạ thường.
· Nếu Tập Russell là tập lạ thường thì nó sẽ là tập thông thường.
Đó chính là Nghịch lý Russell, được trình bầy dưới dạng ký hiệu như trong minh hoạ sau:

Nghịch lý Russell (Russell's paradox) còn được mô tả qua một câu chuyện vui về ông thợ cạo như sau:
Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng VNMATH, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng VNMATH mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng VNMATH chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông này thuộc loại đại rắc rối, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả!

Thật ra mâu thuẫn này gặp phải khi ta xét tập hợp "E là tập hợp của tất cả các tập hợp" để rồi gặp phải tình huống: “Tập E là một phần tử của chính nó hay không phải là phần tử của nó đều gặp chuyện ngược đời”. Sau đó để sửa sai, người ta không dùng "tập hợp của tất cả các tập hợp" mà đề xuất một khái niệm mới, tổng quát hơn là "lớp". Trong công việc của các nhà toán học cụ thể, người ta chỉ cần khoanh vùng một tập hợp bao gồm đủ nhiều các tập hợp nào đó (nhưng không phải là tất cả) để làm việc thì sẽ không phải gặp mâu thuẫn nữa. Tập này được gọi là một "vũ trụ" của người làm toán ứng với một ngành toán nào đó. Edit